K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

25 tháng 4 2018

a) Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số không âm , ta có:

\(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)

\(\Rightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)

b) Xét hiệu:

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}-2=\dfrac{a^2+b^2-2ab}{ab}=\dfrac{\left(a-b\right)^2}{ab}\ge0\) ( luôn đúng)

=> \(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\ge2\)

25 tháng 4 2018

a) a + b ≥ 2\(\sqrt{ab}\) ( a > 0 ; b > 0 )

⇔ a - 2\(\sqrt{ab}\) + b ≥ 0

\(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\) ≥ 0 ( luôn đúng )

b) Áp dụng BĐT Cô-si :

x2 + y2 ≥ 2xy ( x > 0 ; y > 0)

⇒ a2 + b2 ≥ 2ab ( a > 0 ; b > 0)

\(\dfrac{a^2+b^2}{ab}\) ≥ 2

\(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a}\) ≥ 2

4 tháng 2 2021

Chỗ kia là có thêm dấu + nữa nha

13 tháng 3 2021

Áp dụng giả thiết \(ab=1\) và bất đẳng thức Cauchy ta có:

\(\dfrac{a^2+b^2}{a-b}=\dfrac{\left(a-b\right)^2+2ab}{a-b}=a-b+\dfrac{2}{a-b}\ge2\sqrt{\dfrac{2\left(a-b\right)}{a-b}}=2\sqrt{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}ab=1\\a-b=\sqrt{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}\\b=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\)

13 tháng 3 2021

mình ko hiểu cho lắmoho

AH
Akai Haruma
Giáo viên
4 tháng 11 2023

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

$\frac{a^2+b^2}{a-b}=\frac{(a-b)^2+2ab}{a-b}=\frac{(a-b)^2+2}{a-b}=(a-b)+\frac{2}{a-b}\geq 2\sqrt{(a-b).\frac{2}{a-b}}=2\sqrt{2}$

Ta có đpcm.

18 tháng 1 2021

Ta có: \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\sqrt{\dfrac{2c}{a+b}}\)

\(=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{2c}{\sqrt{2c\left(a+b\right)}}\)

\(\ge\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{4c}{a+b+2c}=\dfrac{\left(a-b\right)^2\left(a+b+c\right)}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b+2c\right)}\ge0\)

(đúng hiển nhiên)

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c.$

AH
Akai Haruma
Giáo viên
18 tháng 1 2021

Em xem lại đoạn:

\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{4c}{a+b+2c}=\frac{(a-b)^2(a+b+c)}{(b+c)(c+a)(a+b+2c)}\) bị nhầm rồi nè. 

Ta có: \(\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)

\(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\)

\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)(luôn đúng)

 

*Chứng minh bất đẳng thức

Ta có: \(\forall a,b\ge0\) thì \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a+b-2\sqrt{ab}\ge0\) \(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\) \(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)  (đpcm)

 

 

 

 

Ta có: \(\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\forall a,b>0\)

\(\Leftrightarrow a-2\sqrt{ab}+b\ge0\forall a,b>0\)

\(\Leftrightarrow a+b\ge2\sqrt{ab}\forall a,b>0\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\forall a,b>0\)(đpcm)

\(\dfrac{a}{bc}+\dfrac{b}{ac}>=2\cdot\sqrt{\dfrac{a}{bc}\cdot\dfrac{b}{ac}}=\dfrac{2}{cc}\)

\(\dfrac{b}{ca}+\dfrac{c}{ab}>=2\cdot\sqrt{\dfrac{bc}{ca\cdot ab}}=\dfrac{2}{a}\)

\(\dfrac{c}{ab}+\dfrac{a}{bc}>=2\cdot\sqrt{\dfrac{a\cdot c}{a\cdot b\cdot c\cdot b}}=\dfrac{2}{b}\)

=>a/bc+b/ac+c/ab>=2(1/a+1/b+1/c)

18 tháng 4 2023

sao ra đc thế bn, đề bị sai mà

11 tháng 4 2021

Nhân 2 vế cho ab ta có:

`a^2+b^2>=2ab`

`<=>(a-b)^2>=0` luôn đúng

Dấu "=" `<=>a=b`

6 tháng 9 2017

b)Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}+\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}\ge2\sqrt{\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\cdot\dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}}=2\)

Xảy ra khi \(a=b\)

c)Áp dụng BĐT \(x^2+y^2\ge2xy\) có:

\(VT=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2=a+b+2\sqrt{ab}\)

\(\ge2\sqrt{\left(a+b\right)\cdot2\sqrt{ab}}=2\sqrt{2\left(a+b\right)\cdot\sqrt{ab}}=VP\)

Xảy ra khi \(a=b\)

6 tháng 9 2017

a)\(\dfrac{a^2+3}{\sqrt{a^2+3}}=\sqrt{a^2+3}\ge\sqrt{3}< 2\)\

sai đề