Cho các số dương a , b , c , d thỏa mãn a + b + c + d = 8
Tìm GTNN của biểu thức : S = \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{4}{c}+\dfrac{16}{d}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 1 2021
Dự đoán điểm rơi xảy ra tại \(\left(a;b;c\right)=\left(3;2;4\right)\)
Đơn giản là kiên nhẫn tính toán và tách biểu thức:
\(D=13\left(\dfrac{a}{18}+\dfrac{c}{24}\right)+13\left(\dfrac{b}{24}+\dfrac{c}{48}\right)+\left(\dfrac{a}{9}+\dfrac{b}{6}+\dfrac{2}{ab}\right)+\left(\dfrac{a}{18}+\dfrac{c}{24}+\dfrac{2}{ac}\right)+\left(\dfrac{b}{8}+\dfrac{c}{16}+\dfrac{2}{bc}\right)+\left(\dfrac{a}{9}+\dfrac{b}{6}+\dfrac{c}{12}+\dfrac{8}{abc}\right)\)
Sau đó Cô-si cho từng ngoặc là được
AH
Akai Haruma
Giáo viên
22 tháng 1 2022
Bài 1: Ta có:
\(M=\frac{ad}{abcd+abd+ad+d}+\frac{bad}{bcd.ad+bc.ad+bad+ad}+\frac{c.abd}{cda.abd+cd.abd+cabd+abd}+\frac{d}{dab+da+d+1}\)
\(=\frac{ad}{1+abd+ad+d}+\frac{bad}{d+1+bad+ad}+\frac{1}{ad+d+1+abd}+\frac{d}{dab+da+d+1}\)
$=\frac{ad+abd+1+d}{ad+abd+1+d}=1$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
22 tháng 1 2022
Bài 2:
Vì $a,b,c,d\in [0;1]$ nên
\(N\leq \frac{a}{abcd+1}+\frac{b}{abcd+1}+\frac{c}{abcd+1}+\frac{d}{abcd+1}=\frac{a+b+c+d}{abcd+1}\)
Ta cũng có:
$(a-1)(b-1)\geq 0\Rightarrow a+b\leq ab+1$
Tương tự:
$c+d\leq cd+1$
$(ab-1)(cd-1)\geq 0\Rightarrow ab+cd\leq abcd+1$
Cộng 3 BĐT trên lại và thu gọn thì $a+b+c+d\leq abcd+3$
$\Rightarrow N\leq \frac{abcd+3}{abcd+1}=\frac{3(abcd+1)-2abcd}{abcd+1}$
$=3-\frac{2abcd}{abcd+1}\leq 3$
Vậy $N_{\max}=3$
8 tháng 1 2021
Hi vọng là tìm GTLN:
Không mất tính tổng quát, giả sử b, c cùng phía với 1 \(\Rightarrow\left(b-1\right)\left(c-1\right)\ge0\Leftrightarrow bc\ge b+c-1\).
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:
\(4=a^2+b^2+c^2+abc\ge a^2+2bc+abc\Leftrightarrow2bc+abc\le4-a^2\Leftrightarrow bc\left(a+2\right)\le\left(2-a\right)\left(a+2\right)\Leftrightarrow bc+a\le2\)
\(\Rightarrow a+b+c\le3\).
Áp dụng bất đẳng thức Schwarz ta có:
\(P\le\dfrac{ab}{9}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{2}{b}\right)+\dfrac{bc}{9}\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{2}{c}\right)+\dfrac{ca}{9}\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{2}{a}\right)=\dfrac{1}{9}.3\left(a+b+c\right)=\dfrac{1}{3}\left(a+b+c\right)\le1\).
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1.
20 tháng 9 2021
Áp dụng bất đẳng thức: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\) \(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\left(đúng\right)\)
\(\dfrac{1}{2a+b+c}=\dfrac{1}{4}.\dfrac{4}{2a+b+c}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{2a}+\dfrac{1}{b+c}\right)\le\dfrac{1}{4}\left[\dfrac{1}{2a}+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\right]=\dfrac{1}{8}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{2b}+\dfrac{1}{2c}\right)\)
CMTT \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{a+2b+c}\le\dfrac{1}{8}\left(\dfrac{1}{2a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{2c}\right)\\\dfrac{1}{a+b+2c}\le\dfrac{1}{8}\left(\dfrac{1}{2a}+\dfrac{1}{2b}+\dfrac{1}{c}\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow M=\dfrac{1}{2a+b+c}+\dfrac{1}{a+2b+c}+\dfrac{1}{a+b+2c}\le\dfrac{1}{8}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{2}{2a}+\dfrac{2}{2b}+\dfrac{2}{2c}\right)=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=\dfrac{1}{4}.4=1\)
\(minM=1\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{3}{4}\)
B
15 tháng 5 2021
Bài làm :
Ta có :
\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{4}{a+b}\le\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{a+b}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(1\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi : a=b
Chứng minh tương tự như trên ; ta có :
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{b+c}\text{≤}\frac{1}{4}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(2\right)\\\frac{1}{c+a}\text{≤}\frac{1}{4}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\left(3\right)\end{cases}}\)
Cộng vế với vế của (1) ; (2) ; (3) ; ta được :
\(A\text{≤}\frac{1}{2}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\text{=}\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi ;
\(\hept{\begin{cases}a=b=c\\\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=3\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Vậy Max (A) = 3/2 khi a=b=c=1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
28 tháng 2 2021
\(\dfrac{1}{\left(1+\sqrt{ab}\sqrt{\dfrac{a}{b}}\right)^2}+\dfrac{1}{\left(1+\sqrt{ab}\sqrt{\dfrac{b}{a}}\right)^2}\ge\dfrac{1}{\left(1+ab\right)\left(1+\dfrac{a}{b}\right)}+\dfrac{1}{\left(1+ab\right)\left(1+\dfrac{b}{a}\right)}=\dfrac{1}{1+ab}\)
Tương tự: \(\dfrac{1}{\left(1+c\right)^2}+\dfrac{1}{\left(1+d\right)^2}\ge\dfrac{1}{1+cd}\)
\(\Rightarrow B\ge\dfrac{1}{1+ab}+\dfrac{1}{1+cd}=\dfrac{1}{1+ab}+\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{ab}}=\dfrac{1}{1+ab}+\dfrac{ab}{1+ab}=1\)
\(B_{min}=1\) khi \(a=b=c=d=1\)
28 tháng 2 2021
Áp dụng BĐT phụ ta có:
\(B\ge\dfrac{1}{1+ab}+\dfrac{1}{1+cd}=\dfrac{ab+cd+2}{1+ab+cd+abcd}=1\)
Vậy GTNN của B bằng 1 <=> a=b=c=d=1
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: \(S=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{4}{c}+\dfrac{16}{d}\ge\dfrac{\left(1+1+2+4\right)^2}{a+b+c+d}=\dfrac{64}{8}=8\)
giải rõ một chút nhé !