Question

[Đạt Tuấn]

cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục trên R và thỏa mãn f(x)>0, f(1)=1, f(x)=f'(x)căn (3x+1) với mọi x>0 . f(5)=?

Answer 1

[Thảo Nguyễn Karry]

Ta có \(\dfrac{1}{\sqrt{3x+1}}=\dfrac{f'\left(x\right)}{f\left(x\right)}\)

\(\Rightarrow\int\dfrac{1}{\sqrt{3x+1}}dx=\int\dfrac{f'\left(x\right)}{f\left(x\right)}dx\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{3}\int\left(3x+1\right)^{-\dfrac{1}{2}}d\left(3x+1\right)=\int\dfrac{\left[f\left(x\right)\right]}{f\left(x\right)}\)

\(\Rightarrow\dfrac{2}{3}.\sqrt{3x+1}+C=\ln\left|f\left(x\right)\right|=\ln\left|f\left(x\right)\right|\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=e^{\dfrac{2}{3}.\sqrt{3x+1}+C}\)

Mặt khác ta có f(1) = \(e^{\dfrac{4}{3}+C}=1\Rightarrow C=-\dfrac{4}{3}\)

Vậy nên f(x) = \(e^{\dfrac{2}{3}.\sqrt{3x+1}-\dfrac{4}{3}}\)

Từ đó ta tính được f(5) = \(e^{\dfrac{4}{3}}\)