cho 2 số a,b thỏa mãn \(\dfrac{a+b}{2}\)=1 . tính giá trị lớn nhất của biểu thức \(\dfrac{2011}{2a^2+2b^2+2008}\)
mình đag cần gấp mong các bạn giúp cho ạ
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
22 tháng 12 2017
Ta có :\(\left(a-b\right)^2\ge0\forall a;b\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2\ge a^2+b^2+2ab\Leftrightarrow2a^2+2b^2\ge\left(a+b\right)^2\)
Suy ra \(\frac{2011}{2a^2+2b^2+2008}\le\frac{2011}{\left(a+b\right)^2+2008}=\frac{2011}{4+2008}=\frac{2011}{2012}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=1\)
20 tháng 9 2021
Áp dụng bất đẳng thức: \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\ge\dfrac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\) \(\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\left(đúng\right)\)
\(\dfrac{1}{2a+b+c}=\dfrac{1}{4}.\dfrac{4}{2a+b+c}\le\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{2a}+\dfrac{1}{b+c}\right)\le\dfrac{1}{4}\left[\dfrac{1}{2a}+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\right]=\dfrac{1}{8}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{2b}+\dfrac{1}{2c}\right)\)
CMTT \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{a+2b+c}\le\dfrac{1}{8}\left(\dfrac{1}{2a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{2c}\right)\\\dfrac{1}{a+b+2c}\le\dfrac{1}{8}\left(\dfrac{1}{2a}+\dfrac{1}{2b}+\dfrac{1}{c}\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow M=\dfrac{1}{2a+b+c}+\dfrac{1}{a+2b+c}+\dfrac{1}{a+b+2c}\le\dfrac{1}{8}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}+\dfrac{2}{2a}+\dfrac{2}{2b}+\dfrac{2}{2c}\right)=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=\dfrac{1}{4}.4=1\)
\(minM=1\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{3}{4}\)
14 tháng 3 2021
Áp dụng bđt Schwarz ta có:
\(P=\dfrac{a^4}{2ab+3ac}+\dfrac{b^4}{2cb+3ab}+\dfrac{c^4}{2ac+3bc}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{5\left(ab+bc+ca\right)}\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{5\left(a^2+b^2+c^2\right)}=\dfrac{1}{5}\).
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\).
20 tháng 7 2021
b)
https://hoc24.vn/cau-hoi/c-voi-a-b-c-la-cac-so-duong-thoa-man-dieu-kien-a-b-c-2-tim-max-q-sqrt2abcsqrt2bcasqrt2cab.8298826302
Bạn có thể tham khảo ở đây. Đừng quên like giúp mik nha bạn. Thx
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
28 tháng 8 2021
\(2ab+a+b=2a^2+2b^2\ge2ab+\dfrac{1}{2}\left(a+b\right)^2\Rightarrow a+b\le2\)
\(F=\dfrac{a^4}{ab}+\dfrac{b^4}{ab}+2020\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\right)\ge\dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2ab}+\dfrac{8080}{a+b}\ge a^2+b^2+\dfrac{8080}{a+b}\)
\(F\ge\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}+\dfrac{8080}{a+b}=\dfrac{\left(a+b\right)^2}{2}+\dfrac{4}{a+b}+\dfrac{4}{a+b}+\dfrac{8072}{a+b}\)
\(F\ge3\sqrt[3]{\dfrac{16\left(a+b\right)^2}{\left(a+b\right)^2}}+\dfrac{8072}{2}=...\)
Đặt \(Q=\dfrac{2011}{2a^2+2b^2+2008}\)
Ta có:
\(\dfrac{a+b}{2}=1=>a+b=2=>a=2-b\)
Thay a=2-b vào Q ta được:
\(Q=\dfrac{2011}{2a^2+2\left(2-a\right)^2+2008}\)
=\(\dfrac{2011}{2a^2+2\left(4-4a+a^2\right)+2008}\)
=\(\dfrac{2011}{2a^2+8-8a+2a^2+2008}\)
=\(\dfrac{2011}{4a^2-8a+2016}\)
=\(\dfrac{2011}{4a^2-8a+4+2012}\)
=\(\dfrac{2011}{4\left(a^2-2a+1\right)+2012}\)
=\(\dfrac{2011}{4\left(a-1\right)^2+2012}\)
Vì \(2a^2+2b^2+2008>0với\forall a,b\)
nên để Q đạt GTLN thì \(2a^2+2b^2+2008\)đạt GTNN hay \(4\left(a-1\right)^2+2012\)đạt GTNN
Mặt khác \(4\left(a-1\right)^2\)\(\ge\)0 với \(\forall\)a
Do đó\(4\left(a-1\right)^2+2012\) \(\ge\)0 với \(\forall\)a
Dấu "=" xảy ra <=> a-1=0<=>a=1
Mà a+b=2=>b=1
Vậy GTN của \(Q=\dfrac{2011}{2a^2+2b^2+2008}\)là \(\dfrac{2011}{2012}\)khi a=b=1
Help me , please !!!!!!!!!!