giải hệ phương trình:\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x+y}-\sqrt{x-y}=2\\\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{x^2-y^2}=4\end{matrix}\right.\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
1) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}3\sqrt{x}-\sqrt{y}=5\\2\sqrt{x}+3\sqrt{y}=18\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}9\sqrt{x}-3\sqrt{y}=15\\2\sqrt{x}+3\sqrt{y}=18\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}11\sqrt{x}=33\\3\sqrt{x}-\sqrt{y}=5\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}=3\\\sqrt{y}=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=9\\y=16\end{matrix}\right.\)
Vậy: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left\{{}\begin{matrix}x=9\\y=16\end{matrix}\right.\)
2) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x+3}-2\sqrt{y+1}=2\\2\sqrt{x+3}+\sqrt{y+1}=4\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-2\sqrt{x+3}+4\sqrt{y+1}=-4\\2\sqrt{x+3}+\sqrt{y+1}=4\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}5\sqrt{y+1}=0\\\sqrt{x+3}-2\sqrt{y+1}=2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{y+1}=0\\\sqrt{x+3}=2\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y+1=0\\x+3=4\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=-1\\x=1\end{matrix}\right.\)
Vậy: Hệ phương trình có nghiệm duy nhất là \(\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=-1\end{matrix}\right.\)
4. Đk: \(x,y\ge0\)
\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}+\sqrt{y+1}=1\\\sqrt{y}+\sqrt{x+1}=1\end{matrix}\right.\left(1\right)\)
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}+\sqrt{y+1}\ge0+1=1\\\sqrt{y}+\sqrt{x+1}\ge0+1=1\end{matrix}\right.\left(2\right)\)
\(\left(1\right),\left(2\right)\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{x}=0,\sqrt{x+1}=1\\\sqrt{y}=0,\sqrt{y+1}=1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=0\\y=0\end{matrix}\right.\)<tmđk>
Vậy hệ pt có nghiệm \(\left(x,y\right)=\left(0;0\right)\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{5}x-y=\sqrt{5}\left(\sqrt{3}-1\right)\left(1\right)\\2\sqrt{3}x+3\sqrt{5}y=21\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\sqrt{5}x-\sqrt{15}+\sqrt{5}\\2\sqrt{3}x+3\sqrt{5}y=21\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\sqrt{5}x-\sqrt{15}+\sqrt{5}\\2\sqrt{3}x+3\sqrt{5}\left(\sqrt{5}x-\sqrt{15}+\sqrt{5}\right)=21\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\sqrt{5}x-\sqrt{15}+\sqrt{5}\\x\left(15+2\sqrt{3}\right)=6+15\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\sqrt{3}\\y=\sqrt{5}\end{matrix}\right.\)
ít nhất phải đánh ra thế này chớ ( thiếu kết luận bước cuối giải hệ phương trình trừ điểm : ))
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
ĐKXD: x, y > 0.
\(Pt_{\left(1\right)}\Leftrightarrow\dfrac{y+\sqrt{x}}{x}=\dfrac{2\left(y+\sqrt{x}\right)}{y}\Leftrightarrow\left(y+\sqrt{x}\right)\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{2}{y}\right)=0\)
\(\Rightarrow y=2x\), thế vào Pt(2): \(2x\left(\sqrt{x^2+1}-1\right)=\sqrt{3x^2+3}\)
Đặt \(\sqrt{x^2+1}=a\) thì \(\left\{{}\begin{matrix}2x\left(a-1\right)=\sqrt{3}a\\a^2-x^2=1\end{matrix}\right.\)
Giải ra ta được \(\left(a-2\right)\left(4a^3-3a+2\right)=0\) nhưng vì \(a\ge1\) nên a=2
Do đó \(x=\pm\sqrt{3}\). Vậy (x, y)=...
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a, Với y >= 0
hpt có dạng \(\left\{{}\begin{matrix}2x+y=3\\x-y=6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x=9\\y=x-6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=3\\y=-3\end{matrix}\right.\)(ktmđk)
Với y < 0 hpt có dạng
\(\left\{{}\begin{matrix}2x-y=3\\x-y=6\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-3\\y=-3-6=-9\end{matrix}\right.\)(tm)
b, bạn tự làm
c, đk : x>= 3
\(\left\{{}\begin{matrix}2\sqrt{x+3}+\left|y-2\right|=2\\\sqrt{x+3}-3\left|y-2\right|=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2\sqrt{x+3}+\left|y-2\right|=2\\2\sqrt{x+3}-6\left|y-2\right|=1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}7\left|y-2\right|=1\\2\sqrt{x+3}+\left|y-2\right|=2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}y-2=\dfrac{1}{7}\\y-2=-\dfrac{1}{7}\end{matrix}\right.\\2\sqrt{x+3}+\left|y-2\right|=2\end{matrix}\right.\)
bạn tự giải nốt nhé
Lời giải:
Đặt \((\sqrt{x-y},\sqrt{x+y})=(b,a)\)
HPT trở thành: \(\left\{\begin{matrix} a-b=2(1)\\ \sqrt{\frac{a^4+b^4}{2}}+ab=4(2)\end{matrix}\right.\)
\((2)\Leftrightarrow \sqrt{\frac{a^4+b^4}{2}}=4-ab\). Bình phương hai vế:
\(\Rightarrow \frac{a^4+b^4}{2}=16+a^2b^2-8ab\)
\(\Leftrightarrow a^4+b^4-2a^2b^2=32-16ab\)
\(\Leftrightarrow (a^2-b^2)^2=32-16ab\Leftrightarrow 4(a+b)^2=32-16ab\) (do \(a-b=2\) )
\(\Leftrightarrow (a+b)^2=8-4ab\)
Thay \(a=b+2\Rightarrow (2b+2)^2=8-4b(b+2)\)
\(\Leftrightarrow (b+1)^2=2-b(b+2)\Leftrightarrow 2b^2+4b-1=0\)
\(\Rightarrow b=\frac{-2+\sqrt{6}}{2}\) (do \(b\geq 0\))
Từ đó kéo theo \(a=\frac{2+\sqrt{6}}{2}\). Từ đây suy ra \((x,y)=(\frac{5}{2},\sqrt{6})\)