cho a,b,c,d \(\ge0\) cmr:
a+b+\(\dfrac{1}{2}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
giúp mk vs nhé
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
DT
2
Những câu hỏi liên quan
JK
1
PA
17 tháng 7 2017
Biến đổi tương đương:
\(\sqrt{\dfrac{a+b}{2}}\ge\dfrac{\sqrt{a}+\sqrt{b}}{2}\) (1)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a+b}{2}\ge\dfrac{a+2\sqrt{ab}+b}{4}\)
\(\Leftrightarrow2a+2b-a-2\sqrt{ab}-b\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\ge0\) luôn đúng
=> (1) đúng
Dấu "=" xảy ra khi a = b
2 tháng 8 2017
Nice proof, nhưng đã quy đồng là phải thế này :v
\(BDT\Leftrightarrow\left(2a-\sqrt{a^2+3}\right)+\left(2b-\sqrt{b^2+3}\right)+\left(2c-\sqrt{c^2+3}\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2-1}{2a+\sqrt{a^2+3}}+\dfrac{b^2-1}{2b+\sqrt{b^2+3}}+\dfrac{c^2-1}{2c+\sqrt{c^2+3}}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2-1}{2a+\sqrt{a^2+3}}+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{a}-a\right)+\dfrac{b^2-1}{2b+\sqrt{b^2+3}}+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{b}-b\right)+\dfrac{c^2-1}{2c+\sqrt{c^2+3}}+\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{1}{c}-c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-1\right)\left(\dfrac{1}{2a+\sqrt{a^2+3}}-\dfrac{1}{4a}\right)+\left(b^2-1\right)\left(\dfrac{1}{2b+\sqrt{b^2+3}}-\dfrac{1}{4b}\right)+\left(c^2-1\right)\left(\dfrac{1}{2c+\sqrt{a^2+3}}-\dfrac{1}{4c}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a^2-1\right)\left(2a-\sqrt{a^2+3}\right)}{a\left(2a+\sqrt{a^2+3}\right)}+\dfrac{\left(b^2-1\right)\left(2b-\sqrt{b^2+3}\right)}{b\left(2b+\sqrt{b^2+3}\right)}+\dfrac{\left(c^2-1\right)\left(2c-\sqrt{c^2+3}\right)}{c\left(2c+\sqrt{c^2+3}\right)}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a^2-1\right)^2}{a\left(2a+\sqrt{a^2+3}\right)^2}+\dfrac{\left(b^2-1\right)^2}{b\left(2b+\sqrt{b^2+3}\right)^2}+\dfrac{\left(c^2-1\right)^2}{c\left(2c+\sqrt{c^2+3}\right)^2}\ge0\) (luôn đúng)
2 tháng 8 2017
Khi \(f\left(t\right)=\sqrt{1+t}\) là hàm lõm trên \([-1, +\infty)\) ta có:
\(f(t)\le f(3)+f'(3)(t-3)\forall t\ge -1\)
Tức là \(f\left(t\right)\le2+\dfrac{1}{4}\left(t-3\right)=\dfrac{5}{4}+\dfrac{1}{4}t\forall t\ge-1\)
Áp dụng BĐT này ta có:
\(\sqrt{a^2+3}=a\sqrt{1+\dfrac{3}{a^2}}\le a\left(\dfrac{5}{4}+\dfrac{1}{4}\cdot\dfrac{3}{a^2}\right)=\dfrac{5}{4}a+\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{a}\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại ta cũng có:
\(\sqrt{b^2+3}\le\dfrac{5}{4}b+\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{b};\sqrt{c^2+3}\le\dfrac{5}{4}c+\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{c}\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên ta có:
\(VP\le\dfrac{5}{4}\left(a+b+c\right)+\dfrac{3}{4}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=2\left(a+b+c\right)=VT\)
AT
31 tháng 7 2021
a) \(A=\sqrt{9a}-\sqrt{16a}-\sqrt{49a}=3\sqrt{a}-4\sqrt{a}-7\sqrt{a}=-8\sqrt{a}\)
b) \(B=\dfrac{3+2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}+\dfrac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{2}}-\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\)
\(=\dfrac{\sqrt{3}\left(2+\sqrt{3}\right)}{\sqrt{3}}+\dfrac{\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+1\right)}{\sqrt{2}}-\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\)
\(=2+\sqrt{3}+\sqrt{2}+1-\sqrt{3}-\sqrt{2}=3\)
ND
3 tháng 5 2018
e)
\(\dfrac{a^2+b^2+c^2}{3}\ge\left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)\ge2\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(a^2-2ac+c^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(a-c\right)^2+\left(b-c\right)^2\ge0\) ( luôn đúng)
=> ĐPCM
UK
4 tháng 12 2017
Đặt vế trái là T, ta có:
\(\dfrac{a}{\sqrt{b+1}}=\dfrac{a\sqrt{2}}{\sqrt{2}.\sqrt{b+1}}\ge\dfrac{a\sqrt{2}}{\dfrac{b+1+2}{2}}=\dfrac{a.2\sqrt{2}}{b+3}\)
Tương tự: \(\dfrac{b}{\sqrt{c+1}}\ge\dfrac{b.2\sqrt{2}}{c+3}\)
\(\dfrac{c}{\sqrt{a+1}}\ge\dfrac{c.2\sqrt{2}}{a+3}\)
Cộng vế theo vế các BĐT vừa chứng minh, ta được
\(T\ge2\sqrt{2}\left(\dfrac{a}{b+3}+\dfrac{b}{c+3}+\dfrac{c}{a+3}\right)=2\sqrt{2}\left(\dfrac{a^2}{ab+3a}+\dfrac{b^2}{bc+3b}+\dfrac{c^2}{ac+3c}\right)\)
\(T\ge2\sqrt{2}.\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca+3\left(a+b+c\right)}\)
\(T\ge2\sqrt{2}.\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}+3\left(a+b+c\right)}\)
\(T\ge2\sqrt{2}.\dfrac{3^2}{\dfrac{3^2}{3}+9}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\)(đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1
UK
4 tháng 12 2017
b) Đặt vế trái là N,ta có:
\(\sum\sqrt{\dfrac{a^3}{b+3}}=\sum\sqrt{\dfrac{a^4}{ab+3}}=\sum\dfrac{a^2}{\sqrt{ab+3}}=\sum\dfrac{2a^2}{\sqrt{4a\left(b+3\right)}}\ge\sum\dfrac{2a^2}{\dfrac{4a+b+3}{2}}=\sum\dfrac{4a^2}{4a+b+3}\)
\(\sum\dfrac{4a^2}{4a+b+3}\ge\dfrac{\left(2a+2b+2c\right)^2}{4a+b+3+4b+c+3+4c+a+3}=\dfrac{3}{2}\)(đpcm)
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1
13 tháng 7 2017
2, a, \(a+\dfrac{1}{a}\ge2\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+1}{a}\ge2\)
\(\Rightarrow a^2-2a+1\ge0\left(a>0\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)^2\ge0\)( là đt đúng vs mọi a)
vậy...................
PA
13 tháng 7 2017
Câu 1:
\(M=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+5\sqrt{48-10\sqrt{7+4\sqrt{3}}}}}\)
\(=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+5\sqrt{48-10\sqrt{\left(2+\sqrt{3}\right)^2}}}}\)
\(=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+5\sqrt{48-20-10\sqrt{3}}}}\)
\(=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+5\sqrt{\left(5-\sqrt{3}\right)^2}}}\)
\(=\sqrt{4+\sqrt{5\sqrt{3}+25-5\sqrt{3}}}\)
\(=\sqrt{4+5}=3\)
\(M=\sqrt{5-\sqrt{3-\sqrt{29-12\sqrt{5}}}}\)
\(=\sqrt{5-\sqrt{3-\sqrt{\left(2\sqrt{5}-3\right)^2}}}\)
\(=\sqrt{5-\sqrt{3-2\sqrt{5}+3}}\)
\(=\sqrt{5-\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}}\)
\(=\sqrt{5-\sqrt{5}+1}=\sqrt{6-\sqrt{5}}\)
Ta có :\(a+b+\dfrac{1}{2}=a+b+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}=\left(a+\dfrac{1}{4}\right)+\left(b+\dfrac{1}{4}\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức cô si ta có :
\(a+\dfrac{1}{4}\ge2\sqrt{a.\dfrac{1}{4}}=\sqrt{a}\)
\(b+\dfrac{1}{4}\ge2\sqrt{b.\dfrac{1}{4}}=\sqrt{b}\)
Do đó :\(a+b+\dfrac{1}{2}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
Dấu "=" xảy ra khi :\(a=b=\dfrac{1}{4}\)
Vậy với \(a,b\ge0\) thì \(a+b+\dfrac{1}{2}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
Ta có: \(a+b+\dfrac{1}{2}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a-2\sqrt{a}.\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}\right)+\left(b-2\sqrt{b}.\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{a}-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(\sqrt{b}-\dfrac{1}{2}\right)^2\ge0\) ( luôn đúng )
\(\Rightarrowđpcm\)