Question

[Đặng Thị Hông Nhung]

1. Cho các số nguyên a, b, c. CMR

Nếu a+b+c chia hết cho 30 thì \(a^5+b^5+c^5\)chia hết cho 30

2.Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn a+b+c=0. CMR

a,\(a^3+b^3+c^3⋮3abc\)

b,\(a^5+b^5+c^5⋮5abc\)

3. Viết số 1998 thành tổng 3 số tự nhiên tùy ý. Chứng minh rằng tổng các lập phương của 3 số tự nhiên đó chia hết cho 6

4. Chứng minh rằng với mọi số nguyên a và b

a,\(a^3b-ab^3⋮6\)

b, \(a^5b-ab^5⋮30\)

5.Chứng minh rằng mọi số tự nhiên đều được viết dưới dạng \(b^3+6c\) trong đó b và c là các số nguyên

6.chứng minh rằng tổng các lập phương của 3 số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 9

7. Chứng minh rằng nếu tổng các lập phương của 3 số nguyên chia hết cho 9 thì tồn tại một trong 3 số đó là bội của 3

Answer 1

[TFBoys]

3. \(1998=a_1+a_2+a_3\) với \(a,b,c\in N\)

Xét hiệu \(\left(a_1^3+a_2^3+a_3^3\right)-\left(a_1+a_2+a_3\right)\)

\(=\left(a_1^3-a_1\right)+\left(a_2^3-a_2\right)+\left(a_3^3-a_3\right)\)

\(=a_1\left(a_1^2-1\right)+a_2\left(a_2^2-1\right)+a_3\left(a_3^2-1\right)\)

\(=\left(a_1-1\right).a_1.\left(a_1+1\right)+\left(a_2-1\right).a_2.\left(a_2+1\right)+\left(a_3-1\right).a_3.\left(a_3+1\right)\)

Dễ thấy mỗi số hạng là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên ắt tồn tại 1 số chia hết cho 2 và 1 số chia hết cho 3

=> Mỗi số hạng chia hết cho 6

=> Hiệu \(\left[\left(a_1^3+a_2^3+a_3^3\right)-\left(a_1+a_2+a_3\right)\right]⋮6\)

Hay \(\left(a_1^3+a_2^3+a_3^3\right)\) và \(\left(a_1+a_2+a_3\right)\) có cùng số dư khi chia cho 6

=> \(\left(a_1^3+a_2^3+a_3^3\right)\) và 1998 có cùng số dư khi chia cho 6

Nên \(\left(a_1^3+a_2^3+a_3^3\right)⋮6\)

Answer 2

[nguyễn nam sơn]

uuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu