Cho a , b , c > 0. Chứng minh bất đẳng thức:
\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\sqrt{\dfrac{2c}{a+b}}\ge2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TN
Chứng minh bất đẳng thức:
\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\sqrt{\dfrac{2c}{a+b}}\ge2\) với a,b,c > 0
1
N
16 tháng 5 2017
\(\dfrac{a}{b+c}+1+\dfrac{b}{c+a}+1=\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:\(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\ge\dfrac{4}{a+b+2c}\)
\(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}\ge\dfrac{4\left(a+b+c\right)}{a+b+2c}-2\)(*)
Lại có: theo AM-GM:\(\sqrt{\dfrac{a+b}{2c}.1}\le\dfrac{1}{2}.\dfrac{a+b+2c}{2c}=\dfrac{a+b+2c}{4c}\)
\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{2c}{a+b}}\ge\dfrac{4c}{a+b+2c}\)(**)
từ (*) và (**),ta có:
\(VT\ge\dfrac{4\left(a+b+c\right)+4c}{a+b+2c}-2=\dfrac{4\left(a+b+2c\right)}{a+b+2c}-2=2\)(ĐpcM)
Dấu = xảy ra khi a=b=c>0
T
18 tháng 1 2021
Ta có: \(\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\sqrt{\dfrac{2c}{a+b}}\)
\(=\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{2c}{\sqrt{2c\left(a+b\right)}}\)
\(\ge\dfrac{a}{b+c}+\dfrac{b}{c+a}+\dfrac{4c}{a+b+2c}=\dfrac{\left(a-b\right)^2\left(a+b+c\right)}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(a+b+2c\right)}\ge0\)
(đúng hiển nhiên)
Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c.$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
18 tháng 1 2021
Em xem lại đoạn:
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{4c}{a+b+2c}=\frac{(a-b)^2(a+b+c)}{(b+c)(c+a)(a+b+2c)}\) bị nhầm rồi nè.
TM
Cho a>0,b>0,c>0. Chứng minh \(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{a+c}}\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\ge2\)
3
4 tháng 2 2018
\(BDT\Leftrightarrow\dfrac{1}{4a}+\dfrac{1}{4b}+\dfrac{1}{4c}\ge\dfrac{1}{2a+b+c}+\dfrac{1}{2b+c+a}+\dfrac{1}{2c+a+b}\)
Áp dụng BĐT \(\dfrac{1}{nht}+\dfrac{1}{is}+\dfrac{1}{the}+\dfrac{1}{best}\ge\dfrac{16}{nht+is+the+best}\):
\(\dfrac{1}{2a+b+c}\le\dfrac{1}{16}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\)
Tương tự cho 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế:
\(VP\le\dfrac{4}{16}\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)=\dfrac{1}{4a}+\dfrac{1}{4b}+\dfrac{1}{4c}\)
\("="\Leftrightarrow a=b=c\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
10 tháng 3 2023
\(\dfrac{a}{\sqrt{b^3+1}}=\dfrac{a}{\sqrt{\left(b+1\right)\left(b^2-b+1\right)}}\ge\dfrac{2a}{b+1+b^2-b+1}=\dfrac{2a}{b^2+2}\)
Tương tự và cộng lại:
\(VT\ge\dfrac{2a}{b^2+2}+\dfrac{2b}{c^2+2}+\dfrac{2c}{a^2+2}=a-\dfrac{ab^2}{b^2+2}+b-\dfrac{bc^2}{c^2+2}+c-\dfrac{ca^2}{a^2+2}\)
\(VT\ge6-\left(\dfrac{ab^2}{b^2+2}+\dfrac{bc^2}{c^2+2}+\dfrac{ca^2}{c^2+2}\right)\)
Ta có:
\(\dfrac{ab^2}{b^2+2}=\dfrac{2ab^2}{2b^2+4}=\dfrac{2ab^2}{b^2+b^2+4}\le\dfrac{2ab^2}{3\sqrt[3]{4b^4}}=\dfrac{a}{3}\sqrt[3]{2b^2}=\dfrac{a}{3}\sqrt[3]{2.b.b}\le\dfrac{a}{9}\left(2+b+b\right)\)
Tương tự và cộng lại:
\(VT\ge6-\left(\dfrac{2a}{9}\left(b+1\right)+\dfrac{2b}{9}\left(c+1\right)+\dfrac{2c}{9}\left(a+1\right)\right)\)
\(=6-\dfrac{2}{9}\left(a+b+c\right)-\dfrac{2}{9}\left(ab+bc+ca\right)\ge6-\dfrac{2}{9}\left(a+b+c\right)-\dfrac{2}{27}\left(a+b+c\right)^2=2\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
14 tháng 8 2018
Bạn tham khảo cách chứng minh tại đây :
Câu hỏi của Nguyễn Huy Thắng - Toán lớp 10 | Học trực tuyến
Áp dụng : Theo BĐT \(AM-GM\) ta có :
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}\)
Nhân vế theo vế ta được :
\(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}=3.3.1=9\)
Dấu \("="\) xảy ra khi \(a=b=c\)
