Question

[Duy Anh Dang]

cho p; p+20 va p+40 la cac so nguyen to

chung minh rang p+80 cung la so nguyen to

Answer 1

[Hoang Hung Quan]

Giải:

Ta xét các trường hợp:

Nếu \(p=2\) thì \(p+20=22\) không là số nguyên tố (loại)

Nếu \(p=3\) thì \(\left\{{}\begin{matrix}p+20=23\\p+40=43\\p+80=83\end{matrix}\right.\) đều là số nguyên tố (chọn)

Nếu \(p>3\) thì ta có 2 dạng là \(\left[{}\begin{matrix}3k+1\\3k+2\end{matrix}\right.\)

\(*)\) Với \(p=3k+1\) ta có:

\(p+20=\left(3k+1\right)+20=3k+21\) \(=3\left(k+7\right)\)

Dễ thấy \(\left[{}\begin{matrix}3\left(k+7\right)⋮3\\3\left(k+7\right)>3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow3\left(k+7\right)\) là hợp số (loại)

\(*)\) Với \(p=3k+2\) ta có:

\(p+20=\left(3k+2\right)+40=3k+42\) \(=3\left(k+14\right)\)

Dễ thấy \(\left[{}\begin{matrix}3\left(k+14\right)⋮3\\3\left(k+14\right)>3\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow3\left(k+14\right)\) là hợp số (loại)

Vậy với \(p=3\) thì \(p+80\) cũng là số nguyên tố (Đpcm)