Cho hàm số :
\(f\left(x\right)=x^3-2x+1\)
Hãy tính \(\Delta f\left(1\right),df\left(1\right)\) và so sánh chúng nếu :
a) \(\Delta x=1\)
b) \(\Delta x=0,1\)
c) \(\Delta x=0,01\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lời giải:
Vì $2>0$ nên $f(x)=2x-1$ là hàm đồng biến trên $R$
$\sqrt{3}-2-(\sqrt{5}-3)=1+\sqrt{3}-\sqrt{5}=1-\frac{2}{\sqrt{3}+\sqrt{5}}> 1-\frac{2}{1+1}=0$
$\Rightarrow \sqrt{3}-2> \sqrt{5}-3$
Vì hàm đồng biến nên $f(\sqrt{3}-2)> f(\sqrt{5}-3)$
Hàm số có cực đại, cực tiểu \(\Leftrightarrow f'\left(x\right)=3x^2-6x+m^2=0\) có 2 nghiệm phân biệt
\(\Leftrightarrow\Delta'=9-3m^2>0\Leftrightarrow\left|m\right|<\sqrt{3}\)
Thực hiện phép chia \(f\left(x\right)\) cho \(f'\left(x\right)\) ta có :
\(f\left(x\right)=\frac{1}{3}\left(x-1\right)f'\left(x\right)+\frac{2}{3}\left(m^2-3\right)x+\frac{m}{3}+m\)
Với \(\left|m\right|<\sqrt{3}\) thì phương trình \(f'\left(x\right)=0\) có 2 nghiệm \(x_1,x_2\) và hàm số y=f(x) đạt cực trị tại \(x_1,x_2\)
Ta có \(f'\left(x_1\right)=f'\left(x_2\right)=0\) nên :
\(y_1=f\left(x_1\right)=\frac{2}{3}\left(m^2-3\right)x_1+\frac{m^2}{3}+m\)
\(y_2=f\left(x_2\right)=\frac{2}{3}\left(m^2-3\right)x_2+\frac{m^2}{3}+m\)
=> Đường thẳng đi qua cực đại, cực tiểu là \(\left(d\right):y=\frac{2}{3}\left(m^2-3\right)x+\frac{m^2}{3}+m\)
Các điểm cực trị \(A\left(x_1,y_1\right);B\left(x_2,y_2\right)\) đối xứng nhau qua \(\left(\Delta\right):y=\frac{1}{2}x-\frac{5}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(d\right)\perp\left(\Delta\right)\) tại trung điểm I của AB (*)
Ta có \(x_1=\frac{x_1+x_2}{2}=1\) suy ra từ (*) \(\Leftrightarrow\begin{cases}\frac{2}{3}\left(m^2-3\right)\frac{1}{2}=-1\\\frac{2}{3}\left(m^2-3\right).1+\frac{m^2}{3}+m=\frac{1}{2}.1-\frac{5}{2}\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}m=0\\m\left(m+1\right)=0\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow m=0\)
a) Ta có:
\(f\left( 1 \right) = 1 + 1 = 2\)
\(f\left( 2 \right) = 2 + 1 = 3\)
\( \Rightarrow f\left( 2 \right) > f\left( 1 \right)\)
b) Ta có:
\(f\left( {{x_1}} \right) = {x_1} + 1;f\left( {{x_2}} \right) = {x_2} + 1\)
\(\begin{array}{l}f\left( {{x_1}} \right) - f\left( {{x_2}} \right) = \left( {{x_1} + 1} \right) - \left( {{x_2} + 1} \right)\\ = {x_1} - {x_2} < 0\end{array}\)
Vậy \({x_1} < {x_2} \Rightarrow f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\).
f(x)>0 với mọi x khi và chỉ khi: \(\left\{{}\begin{matrix}\text{Δ}< 0\\a>0\end{matrix}\right.\)
=>\(\left\{{}\begin{matrix}b^2-4ac< 0\\a>0\end{matrix}\right.\)
a) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} x = 1\)
b) \(f\left( 1 \right) = 1 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f\left( x \right) = f\left( 1 \right).\)