Tìm \(a\) và \(b\) để các cực trị của hàm số
\(y=\dfrac{5}{3}a^2x^3+2ax^2-9x+b\)
đều là những số dương và \(x_0 =-\dfrac{5}{9}\) là điểm cực đại.
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
TXĐ: D = R.
Các cực trị của hàm số đều dương
Các cực trị của hàm số đều dương
Vậy hoặc
là các giá trị cần tìm.
Đáp án B
Ta có y ' = 3 a x 2 + 2 a − 1 x − 3 và y ' ' = 6 a x + 2 a − 2 ; ∀ x ∈ ℝ .
Điểm x 0 = − 1 là điểm cực đại của hàm số ⇔ y ' − 1 = 0 y ' ' − 1 < 0 ⇔ 3 a − 2 a − 1 − 3 = 0 − 6 a + 2 a − 2 < 0 ⇔ a = 1.
Khi đó, hàm số đã cho trở thành y = x 3 − 3 x + b . Ta có y ' = 0 ⇔ 3 x 2 − 3 = 0 ⇔ x = ± 1
Yêu cầu bài toán trở thành y ± 1 > 0 ⇔ b − 2 > 0 b + 2 > 0 ⇔ b > 2.
Vậy a = 1 b > 2 .
a. Hàm có 3 cực trị \(\Rightarrow m< 0\)
\(y'=8x^3+4mx=4x\left(2x^2+m\right)=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0;y=-\dfrac{3m}{2}\\x=-\sqrt{-\dfrac{m}{2}};y=-\dfrac{m^2+3m}{2}\\x=\sqrt{-\dfrac{m}{2}};y=-\dfrac{m^2+3m}{2}\end{matrix}\right.\)
Trong đó \(A\left(0;-\dfrac{3m}{2}\right)\) là cực đại và B, C là 2 cực tiêu
Do tam giác ABC luôn cân tại A \(\Rightarrow\) tâm I của đường tròn ngoại tiếp luôn nằm trên trung trực BC hay luôn nằm trên Oy
Mà tứ giác ABCO nội tiếp \(\Rightarrow OI=AI\Rightarrow I\) là trung điểm OA (do I, O, A thẳng hàng, cùng nằm trên Oy)
\(\Rightarrow I\left(0;-\dfrac{3m}{4}\right)\)
Mặt khác trung điểm BC cũng thuộc Oy và IB=IC (do I là tâm đường tròn ngoại tiếp)
\(\Rightarrow\) I trùng trung điểm BC
\(\Rightarrow-\dfrac{3m}{4}=-\dfrac{m^2+3m}{2}\) \(\Rightarrow m\)
b.
Từ câu a ta thấy khoảng cách giữa 2 cực đại là:
\(\left|x_B-x_C\right|=2\sqrt{-\dfrac{m}{2}}=5\Rightarrow m=-\dfrac{25}{2}\)
Đáp án D.
Ta có y ' = 6 x 2 + 6 1 - m x + 6 m - 2 .
Hàm số có điểm cực trị x 0 = 2 ⇒ 6 . 2 2 + 6 . 1 - m . 2 + 6 . m - 2 = 0 ⇔ m = 4 .
Với m = 4 hàm số có thêm một điểm cực trị x 1 = m - 2 2 = 1 .
Hàm số đã cho trở thành y = 2 x 3 - 9 x 2 + 12 x + n .
Hàm số này có hai cực trị là y 0 = y 2 = n + 4 và y 1 = y 1 = n + 5 .
Hàm số có hai cực trị đều dương ⇔ n + 4 > 0 n + 5 > 0 ⇔ n > - 4
Vậy giá trị nguyên nhỏ nhất của n là ‒3. Do đó giá trị nhỏ nhất của m + n (với m , n nguyên) là 4 + - 3 = 1 . Chọn đáp án D.
Để đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị thì
Khi đó, do a = 1 3 > 0 nên hàm số y = 1 3 x 3 - m x 2 + m + 2 x có cực trị và giá trị của hàm số tại các điểm cực đại, điểm cực tiểu nhận giá trị dương . Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 1 điểm duy nhất là x = 0 1 và hai cực trị x 1 ; x 2 x 1 < x 1 thỏa mãn: 0 < x 1 < x 2 2
Ta có:
hoặc là vô nghiệm hoặc là có nghiệm kép x = 0
Kết hợp điều kiện ta có:
m ∈ 2 - 2 7 3 ; - 1 ∪ 2 ; 2 + 2 7 3
Chọn: A
1.
Đồ thị hàm bậc 3 có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía trục hoành khi và chỉ khi \(f\left(x\right)=0\) có 3 nghiệm phân biệt
\(\Leftrightarrow x^3+3x^2+mx+m-2=0\) có 3 nghiệm pb
\(\Leftrightarrow x^3+3x^2-2+m\left(x+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x^2+2x-2\right)+m\left(x+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x^2+2x+m-2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x^2+2x+m-2=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)
Bài toán thỏa mãn khi (1) có 2 nghiệm pb khác -1
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-2+m-2\ne0\\\Delta'=1-\left(m-2\right)>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow m< 3\)
2.
Pt hoành độ giao điểm:
\(\dfrac{2x-2}{x+1}=2x+m\)
\(\Rightarrow2x-2=\left(2x+m\right)\left(x+1\right)\)
\(\Leftrightarrow2x^2+mx+m+2=0\) (1)
d cắt (C) tại 2 điểm pb \(\Rightarrow\) (1) có 2 nghiệm pb
\(\Rightarrow\Delta=m^2-8\left(m+2\right)>0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>4+4\sqrt{2}\\m< 4-4\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)
Khi đó, theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_B=-\dfrac{m}{2}\\x_Ax_B=\dfrac{m+2}{2}\end{matrix}\right.\)
\(y_A=2x_A+m\) ; \(y_B=2x_B+m\)
\(\Rightarrow AB^2=\left(x_A-x_B\right)^2+\left(y_A-y_B\right)^2=5\)
\(\Leftrightarrow\left(x_A-x_B\right)^2+\left(2x_A-2x_B\right)^2=5\)
\(\Leftrightarrow\left(x_A-x_B\right)^2=1\)
\(\Leftrightarrow\left(x_A+x_B\right)^2-4x_Ax_B=1\)
\(\Leftrightarrow\left(-\dfrac{m}{2}\right)^2-4\left(\dfrac{m+2}{2}\right)=1\)
\(\Leftrightarrow m^2-8m-20=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=10\\m=-2\end{matrix}\right.\)
Ta có:
\(y'=x^2-2mx+m^2-4\)
\(y''=2x-2m,\forall x\in R\)
Để hàm số \(y=\dfrac{1}{3}x^3-mx^2+\left(m^2-4\right)x+3\) đạt cực đại tại x = 3 thì:
\(\left\{{}\begin{matrix}y'\left(3\right)=0\\y''\left(3\right)< 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-6m+5=0\\6-2m< 0\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m=1,m=5\\m>3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m=5\)
=> B.
- Xét a = 0 hàm số trở thành y = -9x + b. Trường hợp này hàm số không có cực trị.
- Xét a # 0. Ta có : y’ = 5a2x2 + 4ax – 9 ; y’= 0 ⇔
hoặc ![This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.](http://latex.codecogs.com/gif.latex?x%3D-%5Cfrac%7B9%7D%7B5a%7D)
- Với a < 0 ta có bảng biến thiên :
Theo giả thiết
là điểm cực đại nên
. Theo yêu cầu bài toán thì
- Với a > 0 ta có bảng biến thiên :
Vì
là điểm cực đại nên
. Theo yêu cầu bài toán thì: ![This is the rendered form of the equation. You can not edit this directly. Right click will give you the option to save the image, and in most browsers you can drag the image onto your desktop or another program.](http://latex.codecogs.com/gif.latex?y_%7B%28ct%29%7D%3Dy%5Cleft%20%28%20%5Cfrac%7B1%7D%7Ba%7D%20%5Cright%20%29%3Dy%5Cleft%20%28%20%5Cfrac%7B25%7D%7B81%7D%20%3E0%5CLeftrightarrow%20%5Cfrac%7B5%7D%7B3%7D%5Cright%20%29%5Ccdot%20%5Cleft%20%28%20%5Cfrac%7B81%7D%7B25%7D%20%5Cright%20%29%5E%7B2%7D%5Cleft%20%28%20%5Cfrac%7B25%7D%7B81%7D%20%5Cright%20%29%5E%7B3%7D+2.%5Cfrac%7B81%7D%7B25%7D%5Ccdot%20%5Cleft%20%28%20%5Cfrac%7B25%7D%7B81%7D%20%5Cright%20%29%5E%7B2%7D-9%5Ccdot%20%5Cfrac%7B25%7D%7B81%7D+b%3E0%5CLeftrightarrow%20b%3E%5Cfrac%7B400%7D%7B243%7D.)
Vậy các giá trị a, b cần tìm là:
hoặc
.