Question

[Hoài Đoàn]

Giúp đỡ tôi bài này các bạn ơi . Tìm GTLN -GTNN của A = \(\frac{x^2+1}{x^2-x+1}\)

Answer 1

[Hoàng Lê Bảo Ngọc]

Cách 1.

Nhận xét : \(x^2-x+1=\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}>0\) . Do vậy A luôn xác định. Ta có :

\(A=\frac{x^2+1}{x^2-x+1}\Leftrightarrow A\left(x^2-x+1\right)=x^2+1\Leftrightarrow x^2\left(A-1\right)-x.A+\left(A-1\right)=0\)

Tìm GTLN-GTNN tức là tồn tại giá trị x thỏa mãn minA và maxA.

Vậy thì điều kiện cần là phương trình trên có nghiệm, tức là :

\(\Delta=A^2-4.\left(A-1\right)\left(A-1\right)=A^2-4\left(A^2-2A+1\right)=-3A^2+8A-4\ge0\)

Giải bđt trên được \(\frac{2}{3}\le A\le2\)

Vậy : min A = 2/3 khi x = -1

max A = 2 khi x = 1

Answer 2

[Hoàng Lê Bảo Ngọc]

Cách 2.

Theo nhận xét ở cách 1 thì ta có A luôn xác định.

Ta có : \(A=\frac{x^2+1}{x^2-x+1}=\frac{2\left(x^2-x+1\right)+\left(x^2+2x+1\right)}{3\left(x^2-x+1\right)}=\frac{\left(x+1\right)^2}{3\left(x^2-x+1\right)}+\frac{2}{3}\ge\frac{2}{3}\)

Đẳng thức xảy ra khi x = -1

Vậy minA = 2/3 khi x = -1

\(A=\frac{x^2+1}{x^2-x+1}=\frac{2\left(x^2-x+1\right)-\left(x^2-2x+1\right)}{x^2-x+1}=-\frac{\left(x-1\right)^2}{x^2-x+1}+2\le2\)

Đẳng thức xảy ra khi x = 1

Vậy max A = 2 khi x = 1