Cho tam giác ABC vuông tại A, Mlaf trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM = \(\frac{BC}{2}\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Trên tia đối của MA lấy điểm D sao cho MD=MA
xét tam giác AMB và tam giác DMC có:
MB=MC(gt)
góc AMB=DMC(2 góc đối đỉnh)
MA=MD( do cách vẽ)
=>tam giác AMB=DMC(c-g-c)
=> AB=DC và góc BAM=MDC=>AB//CD( vì có cặp góc so le trong bằng nhau)
vì AC vuông góc AB(gt) nên AC vuông góc vs CD( quan hệ giữa tính song song và vuông góc)
xét tam giác ABC và CDA có
AB=CD 9(cmt)
góc A=C=90 độ
AC chung
=> tam giác ABC=CDA(c-g-c) suy raBC=AD. Vì AM=1/2AD nên AM=1/2BC
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a) ∆ABC vuông tại A
M là trung điểm BC
⇒ AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC
⇒ AM = BM = CM = BC : 2
b) ∆ABC vuông tại A có ∠C = 30⁰
⇒ ∠B = 90⁰ - 30⁰ = 60⁰
Do AM = BM (cmt)
⇒ ∆ABM cân tại M
Lại có ∠ABM = ∠B = 60⁰
⇒ ∆ABM đều
⇒ AB = AM = BM = BC : 2
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
∆ABC có M là trung điểm của BC.
Trên tia đối của tia MA lấy điểm N sao cho MN = MA.
Ta có:
ےAMB = ےNMC (đối đỉnh)
BM = CM (giả thiết)
MA = MN (dựng hình)
Suy ra: ∆MAB = ∆MNC (c.g.c)
Suy ra: NC = AB và ےMBA = ےMCN
Do ےMBA = ےMCN nên AB // NC
Suy ra ےBAC + ےACN = 180
Ta có: ےBAC = 90 nên ےACN = 90
=> ∆ABC = ∆CNA (c.g.c) vì AC là cạnh chung
AB = NC (cmt) và ےBAC = ےACN = 90
=> AN = BC
=> AM = \(\frac{1}{2}BC\)
=>CMT
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
GT: Δ ABC vuông tại A
BM = CM
D ϵ tia đối của tia MA sao cgo MA = MD
KL: AD = BC
\(AM=\frac{1}{2}BC\)
Ta có hình vẽ:
Nối đoạn BD
Xét Δ BMD và Δ CMA có:
BM = CM (gt)
BMD = CMA (đối đỉnh)
MD = MA (gt)
Do đó, Δ BMD = Δ CMA (c.g.c)
=> BD = AC (2 cạnh tương ứng) và BDM = MAC (2 góc tương ứng)
Mà BDM và MAC là 2 góc so le trong nên BD // AC
=> BAC + ABD = 180o (trong cùng phía)
=> 90o + ABD = 180o
=> ABD = 180o - 90o = 90o = BAC
Xét Δ ABD và Δ BAC có:
BD = AC (cmt)
ABD = BAC = 90o
AB là cạnh chung
Do đó, Δ ABD = Δ BAC (c.g.c)
=> AD = BC (2 cạnh tương ứng) (1)
Mà AM = MD = \(\frac{1}{2}AD\) (2)
Từ (1) và (2) => \(AM=\frac{1}{2}BC\left(đpcm\right)\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
vẽ thêm MD song song AH
MH song song AD
Xét tam giác MDA và tam giác AHM có
Góc A1 = góc M2 (so le trong)
Góc A2 = góc M1 ( so le trong)
AM là cạnh chung
\(\Rightarrow\)Tam giác MDA = tam giác AHM (g.c.g)
\(\Rightarrow\)MD = AH (2 cạnh tương ứng)
Xét tam giác MBD và tam giác CMH có
Góc BMD = góc MCH (đồng vị)
Góc D1 = góc H2 (=90)
BM = MC (giả thiết)
\(\Rightarrow\)Tam giác MBD = tam giác CMH (cạnh huyền - góc nhọn)
\(\Rightarrow\)BD = MH ( 2 cạnh tương ứng)
Xét tam giác BDM và tam giác MHA có
MD = AH ( cmt)
Góc D2 = góc H1 (=90)
BD = MH (cmt)
\(\Rightarrow\)tam giác MBD = tam giác MAH ( c.g.c)
\(\Rightarrow\)BM = AM (2 cạnh tương ứng)
Vì BM = MC và AM = BM
\(\Rightarrow\)AM = MC
Mà BC = BM + MC
\(\Rightarrow\)BC = 2*AM
\(\Rightarrow\)AM = \(\frac{1}{2}\cdot BC\)
Vậy AM = \(\frac{1}{2}\cdot BC\)
Trên tia đối của MA vẽ MD sao cho MA = MD (như hình vẽ)
Xét Δ BMD và Δ CMA có:
BM = CM (gt)
BMD = CMA (đối đỉnh)
MD = AM (cmt)
Do đó, Δ BMD = Δ CMA (c.g.c)
=> BD = AC (2 cạnh tương ứng), BDM = CAM (2 góc tương ứng)
Mà BDM và CAM là 2 góc so le trong => BD // AC
Mà \(AB\perp AC\) nên \(AB\perp BD\)
Xét Δ ABD vuông tại B và Δ BAC vuông tại A có:
BD = AC (cmt)
AB là cạnh chung
Do đó, Δ ABD = Δ BAC (2 cạnh góc vuông)
=> AD = BC (2 cạnh tương ứng)
Mà \(AM=\frac{1}{2}AD\) do AM = MD
=> \(AM=\frac{1}{2}BC\left(đpcm\right)\)
Lên lớp 8 cái này chẳng cần chứng minh nữa :)))