Question

[Lại Thị Hồng Liên]

Giải hệ phương trình :

     \(\begin{cases}x^3+1=2\left(x^2-x+y\right)\\y^3+1=2\left(y^2-y+x\right)\end{cases}\)  (*)

Answer 1

[Võ Bình Minh]

Từ phương trình ban đầu ta có :

      \(\begin{cases}x^3-2x^2+2x+1=2y\\y^3-2y^2+2y+1=2x\end{cases}\)  \(\Leftrightarrow\begin{cases}f\left(x\right)=2y\\f\left(y\right)=2x\end{cases}\) với \(f\left(t\right)=t^3-2t^2+2t+1\)

Ta có \(f'\left(t\right)=3t^2-4t+2>0\), với mọi \(t\in R\) nên f đồng biến trên R

* Nếu \(x>y\Rightarrow2x>2y\Rightarrow f\left(y\right)< f\left(x\right)\Rightarrow y>x\) (Mâu thuẫn)

* Nếu \(x< y\Rightarrow2x< 2y\Rightarrow f\left(y\right)< f\left(x\right)\Rightarrow y< x\) (Mâu thuẫn)

* Vậy \(x=y\) , ta có hệ phương trình ban đầu tương đương :

\(\begin{cases}x=y\\x^3-2x^2+1=0\end{cases}\)\(\Leftrightarrow\begin{cases}x=y\\x\in\left\{1;\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}\right\}\end{cases}\)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm :

\(\left(x;y\right)=\left(1;1\right);\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2};\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right);\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2};\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\)