Cho tam giác ABC có các đường cao AH, BK, CL, trực tâm I. Chứng minh: \(\frac{IH}{AH}+\frac{IK}{BK}+\frac{IL}{CL}=1\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HT
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
30 tháng 7 2021
Từ H kẻ \(HD\perp AC\Rightarrow HD||BK\) (cùng vuông góc AC)
Mà ABC cân tại A \(\Rightarrow\) H là trung điểm BC \(\Rightarrow HC=\dfrac{BC}{2}\)
\(\Rightarrow\) HD là đường trung bình tam giác BCK
\(\Rightarrow HD=\dfrac{BK}{2}\)
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ACH với đường cao HD ứng với cạnh huyền:
\(\dfrac{1}{HD^2}=\dfrac{1}{AH^2}+\dfrac{1}{CH^2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{\left(\dfrac{BK}{2}\right)^2}=\dfrac{1}{AH^2}+\dfrac{1}{\left(\dfrac{BC}{2}\right)^2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{4}{BK^2}=\dfrac{1}{AH^2}+\dfrac{4}{BC^2}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{BK^2}=\dfrac{1}{BC^2}+\dfrac{1}{4AH^2}\)
TP
18 tháng 7 2018
Đề hình như sai nhé bạn. Đường thẳng qua C thì làm sao song song với CK được.
7 tháng 8 2020
câu 1 bị sai ở chỗ đường thẳng C thì làm sao có thể song song với CK được
14 tháng 3 2019
Gọi đường thẳng IH cắt đường tròn (HBL) tại T'. Ta sẽ chứng minh T' trùng T.
Thật vậy: Kẻ tia tiếp tuyến tại K của đường tròn (B;BA) cắt HA tại S. Khi đó: ^BKS = ^BHS = 900
Suy ra tứ giác BSKH nội tiếp, do đó ^BSH = ^BKH.
Theo hệ thức lượng tam giác vuông, ta có: BA2 = BH.BC hay BK2 = BH.BC nên \(\Delta\)BHK ~ \(\Delta\)BKC (c.g.c)
Suy ra: ^BKH = ^BCK. Từ đó: ^BSH = ^BCK cho nên CK vuông góc BS (vì ^BSH + ^SBH = 900)
Gọi CK cắt BS tại R thì CR vuông góc BS. Tương tự có BQ vuông góc CS
Mà CR cắt BQ tại M nên M chính là trực tâm trong \(\Delta\)BCS => SM vuông góc BC
Do M cũng nằm trên AH vuông góc BC nên S,M,H thẳng hàng.
Đồng thời ^CBQ = ^CSH. Lại có \(\Delta\)CLH ~ \(\Delta\)CBL (c.g.c) nên ^CLH = ^CBL.
Từ đó: ^CSH = ^CLH dẫn tới tứ giác CHLS nội tiếp. Suy ra: ^CLS = ^CHS = 900
Với hệ thức lượng tam giác vuông, ta có các đẳng thức về cạnh:
SK2 = SR.SB = SQ.SC = SL2 vậy thì SK = SL. Kết hợp ^SKI = ^SLI = 900 ta được \(\Delta\)SIK = \(\Delta\)SIL (Ch.cgv)
Do đó: IK = IL. Từ ^CLH = ^CBL (cmt) ta thấy CL là tiếp tuyến từ C đến (HBL) kéo theo IL2 = IH.IT'
Mà IL = IK nên IK2 = IH.IT'. Từ đó: \(\Delta\)IKH ~ \(\Delta\)IT'K (c.g.c) nên ^IKH = ^IT'K
Ta lại có: ^BKH = ^BCK (cmt) suy ra ^IKH = ^HCK. Vậy nên ^HT'K = ^HCK
Như vậy: Tứ giác HT'CK nội tiếp hay T' thuộc vào đường tròn (HCK). Mà (HBL) cắt (HCK) ở T khác H nên T' trùng T.
Vậy 3 điểm H,I,T thẳng hàng (đpcm).
17 tháng 11 2022
Lấy E sao cho A là trung điểm của CE
Xét ΔEBC có
BA là đường trung tuyến
BA=CE/2
Do đó: ΔEBC vuông tại E
Xét ΔCBE có AH//BE
nên AH/BE=CH/CB=1/2
=>AH=1/2BE
Xét ΔBEC vuông tại B có BK là đường cao
nên \(\dfrac{1}{BK^2}=\dfrac{1}{BC^2}+\dfrac{1}{BE^2}\)
=>\(\dfrac{1}{BK^2}=\dfrac{1}{BC^2}+\dfrac{1}{4AH^2}\)
Xét hai tam giác \(IBC,ABC\) có chung đáy, các đường cao \(IH,AH\) do đó \(\frac{S\left(IBC\right)}{S\left(ABC\right)}=\frac{IH}{AH}.\) Tương tự ta có \(\frac{S\left(ICA\right)}{S\left(ABC\right)}=\frac{IK}{BK},\frac{S\left(IAB\right)}{S\left(ABC\right)}=\frac{IL}{BL}\). CỘNG các đẳng thức lại ta suy ra \(\frac{IK}{BK}+\frac{IL}{BL}+\frac{IH}{AH}=\frac{S\left(IBC\right)}{S\left(ABC\right)}+\frac{S\left(ICA\right)}{S\left(ABC\right)}+\frac{S\left(IAB\right)}{S\left(ABC\right)}=\frac{S\left(IBC\right)+S\left(ICA\right)+S\left(IAB\right)}{S\left(ABC\right)}=1.\) (đpcm)