Tam giác ABC, BC=a, AC=b,AB=c; AH vuông góc với BC, BI vuông góc với AC, CK vuông góc với AB
Đặt AH =ha BI =hb CK =hc
C/m \(h_a^2+h_b^2+h_c^2\le\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)^2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
17 tháng 8 2023
3:
góc C=90-50=40 độ
Xét ΔABC vuông tại A có sin C=AB/BC
=>4/BC=sin40
=>\(BC\simeq6,22\left(cm\right)\)
\(AC=\sqrt{BC^2-AB^2}\simeq4,76\left(cm\right)\)
1:
góc C=90-60=30 độ
Xét ΔABC vuông tại A có
sin B=AC/BC
=>3/BC=sin60
=>\(BC=\dfrac{3}{sin60}=2\sqrt{3}\left(cm\right)\)
=>\(AB=\dfrac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}\left(cm\right)\)
TP
19 tháng 3 2022
Ta có \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^0\)
\(\widehat{C}=180^0-\left(\widehat{A}+\widehat{B}\right)=180^0-\left(70^0+50^0\right)=180^0-120^0=60^0\)
\(\widehat{A}>\widehat{C}>\widehat{B}\left(70^0>60^0>50^0\right)\)
\(=>BC>AB>AC\)
=> Chọn C
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
22 tháng 12 2020
\(\Leftrightarrow ab\left(\dfrac{1}{b+c}-\dfrac{1}{a+c}\right)+bc\left(\dfrac{1}{a+c}-\dfrac{1}{a+b}\right)+ca\left(\dfrac{1}{a+b}-\dfrac{1}{b+c}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{ab\left(a-b\right)}{\left(b+c\right)\left(a+c\right)}+\dfrac{bc\left(b-c\right)}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}+\dfrac{ca\left(c-a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{ab\left(a^2-b^2\right)+bc\left(b^2-c^2\right)+ca\left(c^2-a^2\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)\left(a-c\right)\left(a+b+c\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}a=b\\b=c\\c=a\end{matrix}\right.\) hay tam giác cân
Kí hiệu \(S,p,r\) lần lượt là diện tích, nửa chu vi và bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác \(ABC.\) Theo công thức tính diện tích tam giác ta có \(S=pr=\frac{1}{2}ah_a=\frac{1}{2}bh_b=\frac{1}{2}ch_c.\) Từ đó suy ra, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\le\frac{1}{4r^2}.\) Đặt \(x=p-a,y=p-b,z=p-c\) thì \(x,y,z\) là các số dương và ta có
\(a=y+z,b=z+x,c=x+y,r=\sqrt{\frac{xyz}{x+y+z}}.\) Thành thử bất đẳng thức tương đương với
\(\frac{1}{\left(x+y\right)^2}+\frac{1}{\left(y+z\right)^2}+\frac{1}{\left(z+x\right)^2}\le\frac{x+y+z}{4xyz}.\) Để chứng minh điều này ta sử dụng bất đẳng thức đơn giản: \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\) với mọi \(a,b\). Khi đó
\(\frac{1}{\left(x+y\right)^2}+\frac{1}{\left(y+z\right)^2}+\frac{1}{\left(z+x\right)^2}\le\frac{1}{4xy}+\frac{1}{4yz}+\frac{1}{4zx}=\frac{x+y+z}{4xyz}.\) (ĐPCM).