Question

[Minh Anh]

Cho tam giác nhọn ABC(AB<AC) có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H.K là hình chiếu của H trên BC.

a.Chứng minh AE.AB=AD.AC

b.Gọi P là giao điểm của AK và DE,Q là giao điểm của đường thẳng DE và đường thẳng BC.Chứng minh góc AED và góc ACB,từ đó chứng minh QB.QC=QE.QD

c.Chứng minh AK là phân giác của góc DKE,từ đó chứng minh PD.QE=PE.QD.

Mng giúp mình với mình đang gấp

Answer 1

[Edogawa Conan]

a) Xét tam giác ADB vuông tại D có: \(cos\widehat{A}=\frac{AD}{AB}\)

Xét tam giác AEC vuông tại  C có: \(cos\widehat{A}=\frac{AE}{AC}\)

=> \(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\) => AE.AB = AD.AC

b) Xét tam giác ADE và tam giác ABC

có: \(\widehat{A}\) :chung

  \(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\) (cmt)

=> tam giác ADE ∽ tam giác ABC (c.g.c)

=> \(\widehat{AED}=\widehat{ACB}\)mà \(\widehat{AED}=\widehat{QEB}\)(đối đỉnh) => \(\widehat{QEB}=\widehat{QCD}\)

Xét tam giác QEB và tam giác QCD

có: \(\widehat{QEB}=\widehat{QCD}\)(cmt); \(\widehat{Q}\) : chung

=> tam giác QEB ∽ tam giác QCD (g.g)

=> \(\frac{QE}{QC}=\frac{QB}{QD}\) => QB. QC = QE . QD

c) CMTT: \(\widehat{BKE}=\widehat{BAC}\); \(\widehat{DKC}=\widehat{BAC}\)

Ta có: \(\widehat{BKE}+\widehat{K_2}=90^0\) (phụ nhau))

   \(\widehat{K_1}+\widehat{DKC}=90^0\) (phụ nhau) 

==> \(\widehat{K_1}=\widehat{K_2}\) => KA là phân giác của \(\widehat{DKE}\)

=> \(\frac{KE}{KD}=\frac{EP}{ED}\)(1)

Gọi Kx là tia đối của tia KD => \(\widehat{DKC}=\widehat{QKx}\) mà \(\widehat{DKC}=\widehat{EKB}\) => \(\widehat{EKQ}=\widehat{QKx}\)

=> KQ là tia phân giác của \(\widehat{EKx}\) => \(\frac{EK}{KD}=\frac{QE}{QD}\)(2)

Từ (1) và (2) => \(\frac{EP}{PD}=\frac{QE}{QD}\) => PD. QE = PE. QD