Cho \(A=2\left(1^{2015}+2^{2015}+3^{2015}+...+n^{2015}\right)\). Biết n là số nguyên dương.
Chứng minh: A chia hết cho n(n+1)
Làm đc mình cho 5* nha
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AH
Akai Haruma
Giáo viên
1 tháng 10 2018
Lời giải:
TH1: $n$ chẵn
Theo hằng đẳng thức đáng nhớ, với $2015$ lẻ và 2 số $a,b$ nguyên dương bất kỳ thì thì:\(a^{2015}+b^{2015}\vdots a+b\)
Áp dụng vào bài toán:
\(1^{2015}+n^{2015}\vdots n+1\)
\(2^{2015}+(n-1)^{2015}\vdots n+1\)
....
\(\left(\frac{n}{2}\right)^{2015}+\left(\frac{n}{2}+1\right)^{2015}\vdots n+1\)
\(\Rightarrow 1^{2015}+2^{2015}+...+n^{2015}\vdots n+1\)
\(\Rightarrow A=2(1^{2015}+2^{2015}+...+n^{2015})\vdots n+1\)
------------
Mặt khác, ta cũng có:
\(2[1^{2015}+(n-1)^{2015}]\vdots n\)
\([2^{2015}+(n-2)^{2015}]\vdots n\)
......
\(2\left(\frac{n}{2}\right)^{2015}=2\left(\frac{2k}{2}\right)^{2015}=2k^{2015}=\vdots (2k=n)\)
\(\Rightarrow 2(1^{2015}+2^{2015}+...+(n-1)^{2015})\vdots n\)
\(\Rightarrow A=2(1^{2015}+2^{2015}+...+(n-1)^{2015}+n^{2015})\vdots n\)
Vậy $A\vdots n$ và $A\vdots (n+1)$. Mà $(n,n+1)=1$ nên $A\vdots n(n+1)$
TH2: $n$ lẻ
Hoàn toàn tương tự, ghép cặp hợp lý ta cũng thu được $A\vdots n(n+1)$
Vậy ta có đpcm.
