1/cho a, b,c lớn hơn hoặc bằng 0 và a+b+c=3 CMRa/(a+2bc)+b/(b+2ac)+c/(c+2a) \(\ge\)1
2/cho a, b,c lớn hơn hoặc bằng 0 và a+b+c=3 CMR:a/(2a+bc) +b/(2b+ac) +c/(2c+ab) \(\le\)1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
QK
8 tháng 4 2017
a2b+ab2-2abc +b2c+bc2-2abc+ac2+a2c-2abc
=b(a2-2ac+c2) +a(b2-2bc+c2)+c (a2-2ab+b2)
= b(a-c)2+a(b-c)2+c(a-b)2 vì a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác=) a,b,c>0
b(a-c)2\(\ge0\) \(\forall a,b,c\)
a(b-c)2\(\ge0\)\(\forall a,b,c\)
c(a-b)2\(\ge0\forall a,b,c\)
AT
1
26 tháng 7 2019
\(\frac{\left(2-c\right)\left(b-c\right)}{2a+bc}=\frac{\left(a+b\right)\left(b-c\right)}{a\left(a+b+c\right)+bc}=\frac{\left(a+b\right)\left(b-c\right)}{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}=\frac{b-c}{c+a}=\frac{b}{c+a}-\frac{c}{c+a}\)
Tương tự, ta có: \(\frac{\left(2-a\right)\left(c-a\right)}{2b+ca}=\frac{c}{a+b}-\frac{a}{a+b};\frac{\left(2-b\right)\left(a-b\right)}{2c+ab}=\frac{a}{b+c}-\frac{b}{b+c}\)
\(\Rightarrow\)\(VT=\left(\frac{a}{b+c}-\frac{a}{a+b}\right)+\left(\frac{b}{c+a}-\frac{b}{b+c}\right)+\left(\frac{c}{a+b}-\frac{c}{c+a}\right)\)
\(=\frac{a\left(a-c\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+\frac{b\left(b-a\right)}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}+\frac{c\left(c-b\right)}{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}\)
\(=\frac{a\left(a-c\right)\left(c+a\right)+b\left(b-a\right)\left(a+b\right)+c\left(c-b\right)\left(b+c\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\)
\(=\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)-\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge\frac{\left(a^3+b^3+c^3\right)-\left(a^3+b^3+c^3\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}=0\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\)\(a=b=c=\frac{2}{3}\)
cái bđt \(a^3+b^3+c^3\ge a^2b+b^2c+c^2a\) cô Chi có làm r ib mk gửi link
28 tháng 3 2021
xí câu 1:))
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng Engel ta có :
\(\frac{x^2}{y-1}+\frac{y^2}{x-1}\ge\frac{\left(x+y\right)^2}{x+y-2}\)(1)
Đặt a = x + y - 2 => a > 0 ( vì x,y > 1 )
Khi đó \(\left(1\right)=\frac{\left(a+2\right)^2}{a}=\frac{a^2+4a+4}{a}=\left(a+\frac{4}{a}\right)+4\ge2\sqrt{a\cdot\frac{4}{a}}+4=8\)( AM-GM )
Vậy ta có đpcm
Đẳng thức xảy ra <=> a=2 => x=y=2
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
7 tháng 2 2022
\(VT=\dfrac{a^2}{b+ab^2c}+\dfrac{b^2}{b+abc^2}+\dfrac{c^2}{c+a^2bc}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+c+abc\left(a+b+c\right)}=\dfrac{9}{3+3abc}\)
\(VT\ge\dfrac{9}{3+\dfrac{\left(a+b+c\right)^3}{9}}=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)
UI
16 tháng 9 2019
<=> \(\frac{b+c-a}{2a}+1+\frac{a-b+c}{2b}+1+\frac{a+b-c}{2c}+1\ge\frac{3}{2}+3\)
<=> \(\frac{a+b+c}{2c}+\frac{a+b+c}{2b}+\frac{a+b+c}{2c}\ge\frac{9}{2}\)
<=> \(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
<=> \(\frac{a}{a}+\frac{a}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{b}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{c}{b}+\frac{c}{c}\ge9\)
<=> \(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)\ge6\)
Ap dung bdt \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
Suy ra ve trai >= 2.3=6=ve phai
=> DPCM
Dau = xay ra <=> a=b=c
mik phai di hoc nen tra loi tat mong ban thong cam
NB
1
20 tháng 3 2018
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
\(\dfrac{1}{a+2b+c}+\dfrac{1}{c+3a}\ge\dfrac{\left(1+1\right)^2}{a+2b+c+c+3a}=\dfrac{4}{4a+2b+2c}=\dfrac{2}{2a+b+c}\)
Chứng minh tương tự ta được: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{b+2c+a}+\dfrac{1}{a+3b}\ge\dfrac{2}{a+2b+c}\\\dfrac{1}{c+2a+b}+\dfrac{1}{b+3c}\ge\dfrac{2}{a+b+2c}\end{matrix}\right.\)
Cộng theo vế:
\(\dfrac{1}{a+2b+c}+\dfrac{1}{b+2c+a}+\dfrac{1}{c+2a+b}+\dfrac{1}{a+3b}+\dfrac{1}{b+3c}+\dfrac{1}{c+3a}\ge\dfrac{2}{a+2b+c}+\dfrac{2}{b+2c+a}+\dfrac{2}{c+2a+b}\)
\(\Rightarrow\dfrac{1}{a+3b}+\dfrac{1}{b+3c}+\dfrac{1}{c+3a}\ge\dfrac{1}{a+2b+c}+\dfrac{1}{b+2c+a}+\dfrac{1}{c+2a+b}\)
p/s: đã sửa đề
1 tháng 9 2015
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwartz ta có
\(\frac{ab}{a+3b+2c}=\frac{ab}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)+2b}\le\frac{ab}{9}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{2b}\right).\)
Tương tự ta có 2 bất đẳng thức khác nữa
\(\frac{bc}{b+3c+2a}=\frac{bc}{\left(b+a\right)+\left(a+c\right)+2c}\le\frac{bc}{9}\left(\frac{1}{b+a}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{2c}\right).\)
\(\frac{ac}{c+3a+2b}=\frac{ac}{\left(a+b\right)+\left(b+a\right)+2a}\le\frac{ac}{9}\left(\frac{1}{c+b}+\frac{1}{b+a}+\frac{1}{2a}\right).\)
Cộng ba bất đẳng thức lại cho ta \(\frac{ab}{a+3b+2c}+\frac{bc}{b+3c+2a}+\frac{ca}{c+3a+2b}\le\)
\(\le\frac{ab}{9}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{2b}\right)+\frac{bc}{9}\left(\frac{1}{b+a}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{2c}\right)+\frac{ac}{9}\left(\frac{1}{c+b}+\frac{1}{b+a}+\frac{1}{2a}\right)\)
\(=\frac{1}{9}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{bc}{a+c}\right)+\frac{1}{9}\left(\frac{ab}{b+c}+\frac{ac}{b+c}\right)+\frac{1}{9}\left(\frac{bc}{a+b}+\frac{ac}{a+b}\right)+\frac{a}{18}+\frac{b}{18}+\frac{c}{18}\)
\(=\frac{a+b+c}{6}.\) (ĐPCM)
