Question

[Nga Kerina]

Bài tập:

a, Chứng tỏ rằng 12n +1/ 30n +2 là phân sồ tối giản.

b, Chứng minh rằng 1/2² + 1/3² + 1/4² + ... + 1/100² <1

Answer 1

[Wall HaiAnh]

a) Gọi d là ƯCLN (12n+1;30n+2)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}12n+1⋮d\\30n+2⋮d\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}5\left(12n+1\right)⋮d\\2\left(30n+2\right)⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}60n+5⋮d\\60n+4⋮d\end{cases}}}\)

\(\Rightarrow\left(60n+5\right)-\left(60n+4\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

\(\Rightarrow d=1\)

Vậy \(\frac{12n+1}{30n+2}\)là phân số tối giản

b) Đặt \(A=\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}\)

\(\Rightarrow A< \frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+...+\frac{1}{99\cdot100}\)

\(\Rightarrow A< 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}\)

\(\Rightarrow A< 1-\frac{1}{100}< 1\)

\(\Rightarrow\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{100^2}< 1\left(đpcm\right)\)

Answer 2

[Nguyễn Thị Hà Vy]

a) Giả sử: 12n+1 / 30n+2 = d , ta có : (12n+1) chia hết d và (30n+2) chia hết cho d

Suy ra :[ 30(12n+1) / 12(30n+2) ] 

[ 5 (12+1) / 2 ( 30n+2) ] suy ra : (60n+5)-(60n+4) chia hết cho d hay chia hết cho 1

vậy 12n+1 / 30n+2 là phân số tối giản với mọi n thuộc Z

B) 1/2²+1/3²+1/4²+...+1/100²

< 1/1x2 +1/2x3 +1/3x4 +...+ 1/99x100

< 1/1 - 1/2 + 1/2 -1/3 +1/3 -1/4 +...+1/99 - 1/100

< 1 - 1/100 = 99 / 100 

Vì 99 /100 < 1 nên 1/2² + 1/3² + 1/4²+...+ 1/100^{2 <1}