Tìm các số x,y,z nguyên dương thỏa mãn: 2x + ( x2 +1)(y2 - 6y +8) = 0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
TA
2
TH
28 tháng 3 2023
Bước 1: Nhân cả hai tầm nhìn của phương pháp với -1 để chuyển các hạng tử âm sang tầm nhìn bên phải của dấu bằng, ta được:
9y² - 3x² - 4z² - 6y²z² = -243
Bước 2: Tách biến và rút gọn chúng lại:
3x² - 9y² + 6y²z² = 4z² + 243
Bước 3: Áp dụng bổ đề Fermat để giải phương trình:
Ta có:
(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2ac + 2bc
Áp dụng công thức trên, ta có:
(2z - 3y)² + 3x² = (13)²
Vì x, y, z là các nguyên dương nên ta có 2z - 3y > 0, do đó ta có:
2z - 3y = 13
Như vậy, ta có hệ thống phương tiện:
2z - 3y = 13
3x² = 169 - (2z - 3y)²
Bước 4: Giải hệ phương trình:
Với 2z - 3y = 13, ta có thể giải được y và z theo x:
y = (2z - 13)/3
z = (3y + 13)/2
Thay vào phương trình 3x² = 169 - (2z - 3y)², ta được:
3x² = 169 - (2((3y + 13)/2) - 3y)² = 169 - 49y²
Từ đó, ta có:
y² = (169 - 3x²)/49
y là số nguyên dương, do đó chỉ có một số giá trị của x có thể làm cho y là số nguyên, đó là khi 169 - 3x² chia hết cho 49. Ta có:
3x² = 169 - 49k (với k là một số nguyên)
x² + 16k/3 = 169/3
Vì x là một số nguyên dương, nên 169/3 - 16k/3 phải là một số chính phương. Kiểm tra và tìm được:
169/3 - 16k/3 = 64
k = 15
Thay k = 15 vào phương trình 3x² = 169 - 49k, ta được:
x² = 64
x = 8
Bước 5: Kết luận:
Do đó các bộ số nguyên dương đối với phương trình là: (x, y, z) = (8, 1, 5) hoặc (x, y, z) = (8, 1, -6).
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
28 tháng 3 2023
Do \(243\) ; \(3x^2-9y^2+6y^2z^2\) đều chia hết cho 3 \(\Rightarrow4z^2\) chia hết cho 3
\(\Rightarrow z\) chia hết cho 3 \(\Rightarrow z=3z_1\) với \(z_1\) nguyên dương
\(\Rightarrow3x^2-9y^2+36z^2_1+54y^2z_1^2=243\)
\(\Rightarrow x^2-3y^2+12z_1^2+18y^2z_1^2=81\)
Lý luận tương tự ta được \(x=3x_1\) với \(x_1\) nguyên dương
\(\Rightarrow9x_1^2-3y^2+12z_1^2+18y^2z_1^2=81\)
\(\Rightarrow3x_1^2-y^2+4z_1^2+6y^2z_1^2=27\) (1)
\(\Rightarrow3x_1^2+4z_1^2+y^2\left(6z_1^2-1\right)=27\)
Do \(x_1;z_1\) nguyên dương \(\Rightarrow x_1;z_1\ge1\)
\(\Rightarrow3x_1^2+4z_1^2+y^2\left(6z_1^2-1\right)\ge3+4+5y^2=7+5y^2\)
\(\Rightarrow7+5y^2\le27\Rightarrow y^2\le4\Rightarrow y\le2\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=1\\y=2\end{matrix}\right.\)
- Với \(y=1\) thế vào (1)
\(\Rightarrow3x_1^2+10z_1^2=28\)
Nếu \(z_1\ge2\Rightarrow3x_1^2+10z_1^2>28\) (ktm) \(\Rightarrow z_1=1\Rightarrow3x_1^2=18\) ko tồn tại \(x_1\) nguyên thỏa mãn
- Với \(y=2\) thế vào (1) \(\Rightarrow3x_1^2+28z_1^2=31\Rightarrow x_1=z_1=1\)
\(\Rightarrow x=z=3\)
Vậy có đúng 1 bộ số nguyên dương thỏa mãn là \(\left(x;y;z\right)=\left(3;2;3\right)\)
SH
0
TT
12 tháng 1 2021
\(x^2-2x+y^2+4y-4< 0\)
⇔ \(\left(x-1\right)^2+\left(y+2\right)^2< 9\)
Mà \(\left(x-1\right)^2\ge0;\left(y+2\right)^2\ge0\) và 2 số này đều là bình phương của một số nguyên
Nên ta có các trường hơpj
TH1 : \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)^2=0\\\left(y+2\right)^2=0\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=1\\y=-2\end{matrix}\right.\) (TM)
TH2 : \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)^2=1\\\left(y+2\right)^2=1\end{matrix}\right.\) .....
TH3 : \(\left\{{}\begin{matrix}\left(x-1\right)^2=4\\\left(y+2\right)^2=1\end{matrix}\right.\) .....
Thôi tự túc mấy trường hợp còn lại. Nghi đề sai lắm :((
PT
1
CM
25 tháng 2 2017
Ta có (1) ⇔ x 4 + x 2 + 20 = y 2 + y
Ta thấy: x 4 + x 2 < x 4 + x 2 + 20 ≤ x 4 + x 2 + 20 + 8 x 2 ⇔ x 2 ( x 2 + 1 ) < y ( y + 1 ) ≤ ( x 2 + 4 ) ( x 2 + 5 )
Vì x, y ∈ Z nên ta xét các trường hợp sau
+ TH1. y ( y + 1 ) = ( x 2 + 1 ) ( x 2 + 2 ) ⇔ x 4 + x 2 + 20 = x 4 + 3 x 2 + 2 ⇔ 2 x 2 = 18 ⇔ x 2 = 9 ⇔ x = ± 3
Với x 2 = 9 ⇒ y 2 + y = 9 2 + 9 + 20 ⇔ y 2 + y − 110 = 0 ⇔ y = 10 ; y = − 11 ( t . m )
+ TH2 y ( y + 1 ) = ( x 2 + 2 ) ( x 2 + 3 ) ⇔ x 4 + x 2 + 20 = x 4 + 5 x 2 + 6 ⇔ 4 x 2 = 14 ⇔ x 2 = 7 2 ( l o ạ i )
+ TH3: y ( y + 1 ) = ( x 2 + 3 ) ( x 2 + 4 ) ⇔ 6 x 2 = 8 ⇔ x 2 = 4 3 ( l o ạ i )
+ TH4: y ( y + 1 ) = ( x 2 + 4 ) ( x 2 + 5 ) ⇔ 8 x 2 = 0 ⇔ x 2 = 0 ⇔ x = 0
Với x 2 = 0 ta có y 2 + y = 20 ⇔ y 2 + y − 20 = 0 ⇔ y = − 5 ; y = 4
Vậy PT đã cho có nghiệm nguyên (x;y) là :
(3;10), (3;-11), (-3; 10), (-3;-11), (0; -5), (0;4).
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 12 2020
\(M=\dfrac{\dfrac{1}{16}}{x^2}+\dfrac{\dfrac{1}{4}}{y^2}+\dfrac{1}{z^2}\ge\dfrac{\left(\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}+1\right)^2}{x^2+y^2+z^2}=\dfrac{49}{16}\)
\(M_{min}=\dfrac{49}{16}\) khi \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{\sqrt{7}};\dfrac{2}{\sqrt{14}};\dfrac{2}{\sqrt{7}}\right)\)
Vì \(2^x>0,x^2+1>0\) nên \(y^2-6y+8< 0\Leftrightarrow\left(y-3\right)^2< 1\)
\(\Leftrightarrow\left|y-3\right|< 1\)\(\Leftrightarrow2< y< 4\)\(\Rightarrow y=3\) thay vào \(2^x+\left(x^2+1\right)\left(y^2-6y+8\right)=0\) ta được:\(2^x=x^2+1\)
Xét x=1 thì 2=2 (thỏa mãn)
Xét x\(\ge\)2 thì \(2^x⋮4\) mà \(x^2+1\) chia 4 chỉ dư 1 và 2(vô lí)
Vậy x=1,y=3 thỏa mãn