Các cao thu giup minh bai nay voi? cho a, b, c là độ dài ba cạnh một tam giác có chu vi bằng 1 . cmr a^2+b^2+c^2+4abc<1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
M
0
29 tháng 3 2021
Dễ thấy \(0< a,b,c< \frac{3}{2}\)
Thật vậy nếu g/s ngược lại tồn tại 1 số >= 3/2 và g/s đó là a
\(\Rightarrow a\ge b+c\) mâu thuẫn với BĐT tam giác nên ta có điều như trên
Ta có: \(\left(\frac{3}{2}-a\right)+\left(\frac{3}{2}-b\right)+\left(\frac{3}{2}-c\right)\ge3\sqrt[3]{\left(\frac{3}{2}-a\right)\left(\frac{3}{2}-b\right)\left(\frac{3}{2}-c\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{9}{2}-\left(a+b+c\right)\ge3\sqrt[3]{\left(\frac{3}{2}-a\right)\left(\frac{3}{2}-b\right)\left(\frac{3}{2}-c\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2}\ge\sqrt[3]{\left(\frac{3}{2}-a\right)\left(\frac{3}{2}-b\right)\left(\frac{3}{2}-c\right)}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{8}\ge\left(\frac{3}{2}-a\right)\left(\frac{3}{2}-b\right)\left(\frac{3}{2}-c\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{8}\ge\left(\frac{9}{4}-\frac{3}{2}a-\frac{3}{2}b+ab\right)\left(\frac{3}{2}-c\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{8}\ge\frac{27}{8}-\frac{9}{4}\left(a+b+c\right)+\frac{3}{2}\left(ab+bc+ca\right)-abc\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{8}\ge\frac{27}{8}-\frac{27}{4}+\frac{3}{2}\left(ab+bc+ca\right)-abc\)
\(\Leftrightarrow\frac{3}{2}\left(ab+bc+ca\right)-abc\le\frac{7}{2}\)
\(\Leftrightarrow6\left(ab+bc+ca\right)-4abc\le14\)
\(\Leftrightarrow4abc\ge6\left(ab+bc+ca\right)-14\)
\(\Leftrightarrow3a^2+3b^2+3c^2+4abc\ge3\left(a+b+c\right)^2-14\)
\(\Leftrightarrow3a^2+3b^2+3c^2+4abc\ge13\)
Dấu "=" xảy ra khi: a = b = c = 1
M
0
GT
17 tháng 1 2022
Tham khảo:
https://hoc24.vn/cau-hoi/cho-a-b-c-la-do-dai-ba-canh-cua-mot-tam-giac-va-thoa-man-he-thuc-a-b-c-1-cmr-a2-b2-c2-12.139261258302
YB
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 2 2020
Do a;b;c là 3 cạnh của tam giác nên:
\(abc\ge\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\left(b+c-a\right)\)
\(\Leftrightarrow abc\ge\left(3-2a\right)\left(3-2b\right)\left(3-2c\right)\)
\(\Leftrightarrow abc\ge27-8abc-18\left(a+b+c\right)+12\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow9abc\ge12\left(ab+bc+ca\right)-27\)
\(\Leftrightarrow abc\ge\frac{4}{3}\left(ab+bc+ca\right)-3\)
\(\Rightarrow VT\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)+\frac{16}{3}\left(ab+bc+ca\right)-12\)
\(\Leftrightarrow VT\ge\frac{8}{3}\left(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca\right)+\frac{1}{3}\left(a^2+b^2+c^2\right)-12\)
\(\Leftrightarrow VT\ge\frac{8}{3}\left(a+b+c\right)^2+\frac{1}{9}\left(a+b+c\right)^2-12=13\)
