Question

[Nguyễn Vũ Quốc Trung]

Cho một điểm O ở trong tam giác ABC. Từ O kẻ một tia vuông góc với cạnh BC và trên tia đó đặt OA' = BC . Tương tự đối với các cạnh AC;AB ta có các điểm B';C';OB'=AC;OC'=AB. Chứng minh các tam giác OA'B',OB'C';OC'A' có diện tích bằng nhau

Answer 1

[Võ Thị Linh]

muốn thế tru khi tam giác đó là tam giác cân

Answer 2

[Nguyễn Tất Đạt]

Ta có bổ đề sau: Nếu 2 tam giác có 2 cặp cạnh bằng nhau và 2 góc xen giữa bù nhau thì diện tích 2 tam giác đó bằng nhau.

Bài toán: Cho \(\Delta\)ABC và \(\Delta\)DEF có AB=DE; AC=DF và ^BAC + ^EDF =180⁰. CMR: S_ABC=S_DEF. 

Trên tia đối của AC lấy điểm g sao cho AG=DF => A là trung điểm của CG (Do AC=DF)

=> S_ABC=S_ABG. (1)

^BAC+^EDF=180⁰ . Mà ^BAC+^BAG=180⁰ => ^EDF=^BAG

Dễ dàng c/m được \(\Delta\)DEF=\(\Delta\)ABG (c.g.c) => S_ABG=S_DEF (2)

Từ (1) và (2) => S_ABC=S_DEF. 

Áp dụng vào bài toán:

Gọi giao điểm của OA' với BC; OB' với AC; OC' với AB lần lượt là I;K;H

Xét tứ giác OICK: Có ^OIC=^OKC=90⁰ => ^IOK+^KCI=180⁰ hay ^A'OB'+^ACB=180⁰

Tương tự: ^A'OC'+^ABC=180⁰

                 ^B'OC'+^BAC=180⁰

Xét \(\Delta\)ABC và \(\Delta\)A'O'B':

BC=OA'

^A'OB'+^ACB=180⁰           => S_ABC=S_A'OB' (Theo bổ đề)

AC=OB'

Tương tự ta có: S_ABC=S_A'OC'; S_ABC=S_B'OC'.

=> S_A'OB'=S_A'OC'=S_B'OC' (đpcm).