Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) Vì AH là đường kính \(\Rightarrow\angle AEH=\angle AFH=90\)
Vì BC là đường kính \(\Rightarrow\angle BAC=90\Rightarrow\angle AEH=\angle AFH=\angle EAF=90\)
\(\Rightarrow AEHF\) là hình chữ nhật
\(\Rightarrow\angle AEF=\angle AHF=\angle ACH\left(=90-\angle HAC\right)\)
\(\Rightarrow\angle AEF+\angle ABC=\angle ACH+\angle ABC=90\)
mà \(\angle ABC=\angle BAO\) (\(\Delta ABO\) cân tại O)
\(\Rightarrow\angle AEF+\angle BAO=90\Rightarrow EF\bot AO\)
c) EF cắt BC tại T'.T'A cắt (O) tại K'
Vì \(\angle AEF=\angle ACH\Rightarrow EFCB\) nội tiếp
Xét \(\Delta T'EB\) và \(\Delta T'CF:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle T'EB=\angle T'CF\\\angle FT'Cchung\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta T'EB\sim\Delta T'CF\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{T'E}{T'C}=\dfrac{T'B}{T'F}\Rightarrow T'E.T'F=T'B.T'C\)
Vì AK'BC nội tiếp \(\Rightarrow\angle T'K'B=\angle T'CA\)
Xét \(\Delta T'K'B\) và \(\Delta T'CA:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle T'K'B=\angle T'CA\\\angle AT'Cchung\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta T'K'B\sim\Delta T'CA\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{T'K'}{T'C}=\dfrac{T'B}{T'A}\Rightarrow T'K'.T'A=T'B.T'C\)
\(\Rightarrow T'K'.T'A=T'E.T'F\Rightarrow\dfrac{T'K'}{T'F}=\dfrac{T'E}{T'A}\)
Xét \(\Delta T'EK'\) và \(\Delta T'AF:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{T'K'}{T'F}=\dfrac{T'E}{T'A}\\\angle FT'Achung\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta T'EK'\sim\Delta T'AF\left(c-g-c\right)\Rightarrow\angle T'K'E=\angle T'FA\)
\(\Rightarrow AK'EF\) nội tiếp \(\Rightarrow K'\in\) đường tròn đường kính AH
\(\Rightarrow K'\equiv K\Rightarrow T'\equiv T\Rightarrow T,E,F\) thẳng hàng
a)Tứ giác AEHF là hình chữ nhật vì có 3 góc vuông \(\Rightarrow\widehat{HAF}=\widehat{EFA}\)
\(\Rightarrow\widehat{OAC}=\widehat{OCA}\)
\(\Rightarrow\widehat{OCA}+\widehat{AFE}=90^0\)\(\Rightarrow OA\)vuông góc với EF
a: góc AIH=góc AKH=góc KAI=90 độ
=>AIHK là hình chữ nhật
góc AKI+góc OAK
=góc AHI+góc OCA
=góc OBA+góc OCA=90 độ
=>AO vuông góc IK
b: Xét ΔAMB và ΔAIM có
góc ABM=góc AMI
góc MAB chung
=>ΔAMB đồng dạng với ΔAIM
=>AM/AI=AB/AM
=>AM^2=AI*AB
=>AM=AH
=>ΔAMH cân tại A
a: Xét (O) có
ΔABC nội tiếp
BC là đường kính
Do đó: ΔABC vuông tại A
Xét ΔABC vuông tại A có AH là đường cao
nên \(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)
a) Ta có : \(\hat{A}=90^o\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O), đường kính BC).
\(\hat{E}=90^o\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (I), đường kính AH).
\(\hat{F}=90^o\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (I), đường kính AH).
Suy ra, AHEF là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết) (điều phải chứng minh).
b) Ta có : \(\hat{HAC}+\hat{C}=90^o\) (hai góc phụ nhau) và \(\hat{ABC}+\hat{C}=90^o\) (hai góc phụ nhau)
\(\Rightarrow\hat{HAC}=\hat{ABC}\) (điều phải chứng minh).
Mặt khác : \(\hat{AEF}=\hat{AHF}\) (hai góc nội tiếp đường tròn (I) cùng chắn cung AF).
Và : \(\left\{{}\begin{matrix}\hat{AHF}+\hat{HAC}=90^o\\\hat{C}+\hat{HAC}=90^o\end{matrix}\right.\Rightarrow\hat{AHF}=\hat{C}\). Suy ra : \(\hat{AEF}=\hat{C}\).
Lại có : \(\hat{AEF}+\hat{BEF}=180^o\) (hai góc kề bù) \(\Rightarrow\hat{C}+\hat{BEF}=180^o\).
Mà trong tứ giác BEFC, hai góc trên lại đối nhau. Do đó, tứ giác BEFC nội tiếp được một đường tròn (điều phải chứng minh).
a) AO cắt (O) tại F \(\Rightarrow AF\) là đường kính \(\Rightarrow\angle ADF=90\)
Vì DE là dây chung của (A;AH) và (O) và AO là đường nối tâm
\(\Rightarrow AO\bot DE\)
Xét \(\Delta ADK\) và \(\Delta AFD:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle DAFchung\\\angle AKD=\angle ADF=90\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta ADK\sim\Delta AFD\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{AD}{AF}=\dfrac{AK}{AD}\Rightarrow AD^2=AF.AK\)
mà \(AF=2AO\Rightarrow AD^2=2AO.AK\)
b) Xét \(\Delta AIK\) và \(\Delta AOH:\) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\angle HAOchung\\\angle AKI=\angle AHO=90\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\Delta AIK\sim\Delta AOH\left(g-g\right)\Rightarrow\dfrac{AI}{AO}=\dfrac{AK}{AH}\Rightarrow AI.AH=AK.AO\)
\(\Rightarrow AI.AH=\dfrac{AD^2}{2}=\dfrac{AH^2}{2}\) (cùng = bán kính của (A;AH))
\(\Rightarrow AI=\dfrac{AH}{2}\Rightarrow I\) là trung điểm AH