cho x, y, z thay đổi, thuộc đoạn \(\left[0;4\right]\)
tìm gtln của A = \(4\left(x+y+z\right)-\left(xy+yz+zx\right)\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NB
6 tháng 1 2020
Đặt \(a=\sqrt{x},b=\sqrt{y},c=\sqrt{z}\) thì \(a,b,c\in\left[0;2\right]\) và
\(P=ab\left(a^2-b^2\right)+bc\left(b^2-c^2\right)+ca\left(c^2-a^2\right)\)
Không mất tính tổng quát, giả sử \(a=max\left\{a,b,c\right\}\)
Ta có \(P=ab\left(a^2-b^2\right)+c\left(b^3-a^3\right)+c^3\left(a-b\right)\\ =ab\left(a^2-b^2\right)+c\left(b-a\right)\left(b^2+ba+a^2-c^2\right)\le ab\left(a^2-b^2\right)\le2b\left(4-b^2\right)\)
\(\Rightarrow P^2\le4b^2\left(4-b^2\right)^2\le2\left[\frac{2b^2+2\left(4-b^2\right)}{3}\right]^3=\frac{1024}{27}\Rightarrow P\le\frac{32\sqrt{3}}{9}\)
Vậy \(P_{max}=\frac{32\sqrt{3}}{9}\Leftrightarrow a=2,b=\frac{2\sqrt{3}}{3},c=0\) hay \(x=4,y=\frac{4}{3},c=0\)
TA
1 tháng 8 2017
2. Xem tại đây
1. \(P=\frac{1}{\sqrt{x.1}}+\frac{1}{\sqrt{y.1}}+\frac{1}{\sqrt{z.1}}\)
\(\ge\frac{1}{\frac{x+1}{2}}+\frac{1}{\frac{y+1}{2}}+\frac{1}{\frac{z+1}{2}}\)
\(=\frac{2}{x+1}+\frac{2}{y+1}+\frac{2}{z+1}\ge\frac{2.\left(1+1+1\right)^2}{x+y+z+3}=\frac{18}{3+3}=3\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\)
L
1 tháng 8 2017
1 ) có cách theo cosi đó
áp dụng cosi cho 3 số dương ta có \(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{x}}+x\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{\sqrt{x}}\times\frac{1}{\sqrt{x}}\times x}=3\sqrt[3]{1}=3\)(1)
\(\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+y\ge3\)(2)
\(\frac{1}{\sqrt{z}}+\frac{1}{\sqrt{z}}+z\ge3\)(3)
cộng các vế của (1),(2),(3), đc \(2\left(\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac{1}{\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{z}}\right)+\left(x+y+z\right)\ge9\Rightarrow2P+3\ge9\Rightarrow P\ge3\)
minP=3 khi x=y=z=1
CV
8 tháng 2 2019
1,theo giả thiết => \(x^2+y^2+z^2=x+y+z\)
mà \(3\left(x^2+y^2+z^2\right)>=\left(x+y+z\right)^2\)(bunhiacopxki)
=>\(x+y+z=< 3\)
ta có:\(\frac{1}{x+2}+\frac{1}{y+2}+\frac{1}{z+2}>=\frac{9}{x+y+z+6}=1\)(cauchy schwarz)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
25 tháng 2 2018
Lời giải:
Ta có:
\(A=\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}\left(\frac{\sqrt{y+z}}{x}+\frac{\sqrt{z+x}}{y}+\frac{\sqrt{x+y}}{z}\right)\)
\(A=\frac{(y+z)\sqrt{(x+y)(x+z)}}{x}+\frac{(z+x)\sqrt{(y+z)(y+x)}}{y}+\frac{(x+y)\sqrt{(z+x)(z+y)}}{z}\)
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\((x+y)(x+z)\geq (x+\sqrt{yz})^2\) và tương tự với những biểu thức khác suy ra:
\(A\geq \frac{(y+z)(x+\sqrt{yz})}{x}+\frac{(z+x)(y+\sqrt{xz})}{y}+\frac{(x+y)(z+\sqrt{xy})}{z}\)
hay \(A\geq 2(x+y+z)+\frac{(y+z)\sqrt{yz}}{x}+\frac{(z+x)\sqrt{zx}}{y}+\frac{(x+y)\sqrt{xy}}{z}\)
hay \(A\geq 2(x+y+z)+\underbrace{\frac{yz(y+z)\sqrt{yz}+xz(x+z)\sqrt{xz}+xy(x+y)\sqrt{xy}}{xyz}}_{M}\)
Đặt \((x,y,z)=(a^2,b^2,c^2)\)
Khi đó: \(M=\frac{a^3b^3(a^2+b^2)+b^3c^3(b^2+c^2)+c^3a^3(a^2+c^2)}{a^2b^2c^2}\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(a^5b^3+a^3b^5\geq 2\sqrt{a^8b^8}=2a^4b^4\)
\(b^5c^3+c^5b^3\geq 2b^4c^4\)
\(c^5a^3+a^5c^3\geq 2c^4a^4\)
\(\Rightarrow a^3b^3(a^2+b^2)+b^3c^3(b^2+c^2)+c^3a^3(c^2+a^2)\geq 2(a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4)\) (1)
(cộng các BĐT theo vế)
Tiếp tục AM-GM:
\(a^4b^4+b^4c^4\geq 2a^2b^4c^2; b^4c^4+c^4a^4\geq 2a^2b^2c^4; c^4a^4+a^4b^4\geq 2a^4b^2c^2\)
\(\Rightarrow a^4b^4+b^4c^4+c^4a^4\geq a^2b^2c^2(a^2+b^2+c^2)\) (2)
Từ\((1); (2)\Rightarrow a^3b^3(a^2+b^2)+b^3c^3(b^2+c^2)+c^3a^3(c^2+a^2)\geq 2a^2b^2c^2(a^2+b^2+c^2)\)
\(\Rightarrow M\geq 2(a^2+b^2+c^2)=2(x+y+z)\)
Do đó: \(A\geq 2(x+y+z)+M\geq 4(x+y+z)\Leftrightarrow A\geq 4\sqrt{2}\)
Vậy \(A_{\min}=4\sqrt{2}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{\sqrt{2}}{3}\)
HN
17 tháng 1 2021
Lời giải:
Ta có:
A=√(x+y)(y+z)(z+x)(√y+zx+√z+xy+√x+yz)
A=(y+z)√(x+y)(x+z)x+(z+x)√(y+z)(y+x)y+(x+y)√(z+x)(z+y)z
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
(x+y)(x+z)≥(x+√yz)2 và tương tự với những biểu thức khác suy ra:
A≥(y+z)(x+√yz)x+(z+x)(y+√xz)y+(x+y)(z+√xy)z
hay A≥2(x+y+z)+(y+z)√yzx+(z+x)√zxy+(x+y)√xyz
hay A≥2(x+y+z)+yz(y+z)√yz+xz(x+z)√xz+xy(x+y)√xyxyz M
Đặt (x,y,z)=(a2,b2,c2)
Khi đó: M=a3b3(a2+b2)+b3c3(b2+c2)+c3a3(a2+c2)a2b2c2
Áp dụng BĐT AM-GM:
a5b3+a3b5≥2√a8b8=2a4b4
b5c3+c5b3≥2b4c4
c5a3+a5c3≥2c4a4
⇒a3b3(a2+b2)+b3c3(b2+c2)+c3a3(c2+a2)≥2(a4b4+b4c4+c4a4) (1)
(cộng các BĐT theo vế)
Tiếp tục AM-GM:
a4b4+b4c4≥2a2b4c2;b4c4+c4a4≥2a2b2c4;c4a4+a4b4≥2a4b2c2
⇒a4b4+b4c4+c4a4≥a2b2c2(a2+b2+c2) (2)
Từ(1);(2)⇒a3b3(a2+b2)+b3c3(b2+c2)+c3a3(c2+a2)≥2a2b2c2(a2+b2+c2)
⇒M≥2(a2+b2+c2)=2(x+y+z)
Do đó: A≥2(x+y+z)+M≥4(x+y+z)⇔A≥4√2
Vậy Amin=4√2⇔x=y=z=√23
BM
0