cho 2 số thực a,b thuộc khoảng (0;1) thỏa mãn \(\left(a^3+b^3\right)\left(a+b\right)-ab\left(a-1\right)\left(b-1\right)=0\)
tìm giá trị lớn nhất của P=ab
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
10 tháng 1 2021
\(\left(a^3+b^3\right)\left(a+b\right)=ab\left(1-a\right)\left(1-b\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)=\left(\dfrac{a^2}{b}+\dfrac{b^2}{a}\right)\left(a+b\right)\ge\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Rightarrow1+ab-4ab\ge a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\Rightarrow3ab+2\sqrt{ab}-1\le0\)
\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{ab}+1\right)\left(3\sqrt{ab}-1\right)\le0\)
\(\Leftrightarrow ab\le\dfrac{1}{9}\)
DN
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
17 tháng 3 2022
\(a=-2b-5c\Rightarrow a+2b=-5c\)
- Với \(c=0\Rightarrow a=-2b\Rightarrow-\dfrac{b}{a}=\dfrac{1}{2}\)
\(ax^2+bx=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=-\dfrac{b}{a}=\dfrac{1}{2}\in\left(0;1\right)\end{matrix}\right.\) (thỏa mãn)
- Với \(c\ne0\)
Hàm \(f\left(x\right)=ax^2+bx+c\) liên tục trên R
\(f\left(0\right)=c\) ;
\(f\left(\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{a}{4}+\dfrac{b}{2}+c=\dfrac{a+2b+4c}{4}=\dfrac{-5c+4c}{4}=-\dfrac{c}{4}\)
\(\Rightarrow f\left(0\right).f\left(\dfrac{1}{2}\right)=-\dfrac{c^2}{4}< 0;\forall c\)
\(\Rightarrow f\left(x\right)\) luôn có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(0;\dfrac{1}{2}\right)\Rightarrow f\left(x\right)\) có ít nhất 1 nghiệm thuộc \(\left(0;1\right)\) do \(\left(0;\dfrac{1}{2}\right)\subset\left(0;1\right)\)
CM
25 tháng 7 2017
Đáp án D
Đặt m = 3 a ta có log m 11 + log 1 7 x 2 + m x + 10 + 4 . log m x 2 + m x + 12 ≥ 0.
Dk: m > 0 , m ≠ 1 , x 2 + m x + 10 ≥ 0
Bpt đã cho tương đương với 1 − log 7 x 2 + m x + 10 + 4 . log 11 x 2 + m x + 12 log m 11 ≥ 0 *
Đặt u = x 2 + m x + 10 , u ≥ 0
+ với 0 < m < 1 : * ⇔ f u = log 7 u + 4 . log 11 u + 2 ≥ 1
f 9 = 1 và f u là hàm số đồng biến nên ta có
f u ≥ f 9 ⇔ x 2 + m x + 10 ≥ 9 ⇔ x 2 + m x + 1 ≥ 0
Vì phương trình trên có Δ = m 2 − 4 < 0 với 0 < m < 1 nên phương trình vô nghiệm
+Với m > 1 : f u ≤ 1 = f 9 ⇔ 0 ≤ u ≤ 9 ⇔ 0 ≤ x 2 + m x + 10 ≤ 9 ⇔ x 2 + m x + 10 ≥ 0 1 x 2 + m x + 1 ≤ 0 2
Xét phương trình x 2 + m x + 1 ≤ 0 có Δ = m 2 − 4 < 0
Nếu m > 2 ⇒ Δ > 0 ⇒ p t vô nghiệm 1 , 2 ⇒ bpt vô nghiệm
Nếu m = 2 ⇒ p t 2 trên có 2 nghiệm thỏa mãn x = − 1 ⇒ bpt có nhiều hơn 1 nghiệm
Nếu m = 2 ⇒ p t 2 có nghiệm duy nhất x = − 1 ⇒ bpt có nghiệm duy nhất x = − 1
Vậy gtct của m là m = 2 ⇒ a = 3 2
Ta có: \(\left(a^3+b^3\right)\left(a+b\right)-ab\left(a-1\right)\left(b-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a^3+b^3\right)\left(a+b\right)}{ab}=\left(1-a\right)\left(1-b\right)\) \((*)\)
\(+)\frac{\left(a^3+b^3\right)\left(a+b\right)}{ab}=\left(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}\right)\left(a+b\right)\ge2\sqrt{ab}.2\sqrt{ab}=4ab\left(1\right)\)
\(+)\left(1-a\right)\left(1-b\right)=1-\left(a+b\right)+ab\le1-2\sqrt{ab}+ab\left(2\right)\)
Từ: \((1)(2)(*)\) ta được:
\(4ab\le1-2\sqrt{ab}+ab\Leftrightarrow3ab+2\sqrt{ab}-1\le0\)
\(\Rightarrow0< ab\le\frac{1}{9}\)
Từ trên ta suy ra được \(Max_P=\frac{1}{9}\)