Question

[Vũ Trúc Linh]

Cho tam giác ABC có góc A = 90; AB < AC ; phân giác BE, E thuộc AC . Lấy điểm H thuộc cạnh BC sao cho BH = BA.
a) Chứng minh EH vuông góc với BC.
b) CM BE là đường trung trực của AH.
c) Đường thẳng EH cắt đường thẳng AB ở K. Chứng Minh EK = EC.
d) CM AH // KC.
e) Gọi M là trung điểm của KC. Chứng minh ba điểm B, E, M thẳng hàng.

Answer 1

[Nguyễn Tân Vương]

HÌnh bạn tự vẽ nha

\(\text{a)Vì }BE\text{ là phân giác của }\Delta ABC:\)

\(\Rightarrow\widehat{ABE}=\widehat{EBH}\)

\(\text{Xét }\Delta ABE\text{ và }\Delta HBE\text{ có:}\)

\(BH=HA\left(gt\right)\)

\(BE\text{ chung}\)

\(\widehat{ABE}=\widehat{EBH}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta ABE=\Delta HBE\left(c-g-c\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{BAE}=\widehat{BHE}\text{(hai cạnh tương ứng)}\)

\(\text{Mà }\widehat{A}=90^0\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{H}=90^0\)

\(\Rightarrow EH\perp BC\)

\(\text{b)Vì }\Delta ABE=\Delta HBE\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow AE=EH\)

\(\Rightarrow\text{Khoảng cách từ điểm E đến H bằng khoảng cách từ điểm E đến A (1)}\)

\(\text{Ta có:}BA=BH\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\text{Khoảng cách từ điểm B đến H bằng khoảng cách từ điểm B đến A (2)}\)

\(\text{Từ (1) và (2)}\)

\(\Rightarrow\text{BE là đường trung trực của AH}\)

\(\text{c)Vì }\widehat{A}=90^0\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow AB\perp AC\)

\(\Rightarrow\widehat{EAK}=90^0\)

\(\text{Vì }EH\perp BC\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{EHC}=90^0\)

\(\text{Xét }\Delta AEK\text{ và }\Delta HEC\text{ có:}\)

\(\text{AE = EH (cmt)}\)

\(\widehat{EAK}=\widehat{EHC}=90^0\)

\(\widehat{AEK}=\widehat{HEC}\text{(đối đỉnh)}\)

\(\Rightarrow\Delta AEK=\Delta HEC\left(g-c-g\right)\)

\(\Rightarrow EK=EC\text{(2 cạnh tương ứng)}\)

\(\text{d)Ta có:}BA=BH\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow\Delta\text{BAH cân tại B}\)

\(\Rightarrow\widehat{BAH}=\dfrac{180^0-\widehat{ABH}}{2}\left(3\right)\)

\(\text{Vì }\Delta AEK=\Delta HEC\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\text{AK = HC ( 2 cạnh tương ứng)}\)

\(\text{Ta có:}\text{AK = BA + AK}\)

\(\text{BC = BH + HC}\)

\(\text{Mà BA = BH ( gt )}\)

\(\text{AK = HC ( cmt)}\)

\(\Rightarrow\text{BK = BC}\)

\(\Rightarrow\Delta\text{BKC cân tại B}\)

\(\Rightarrow\widehat{BKC}=\dfrac{180^0-\widehat{KBC}}{2}\left(4\right)\)

\(\text{Từ (3) và (4)}\)

\(\Rightarrow\widehat{BAH}=\widehat{BKC}\)

\(\text{Mà chúng đồng vị}\)

\(\Rightarrow\text{AH // BC}\)

\(\text{Ta có:}\Delta\text{BKC cân tại B}\)

\(\text{M là trung điểm BC }\)

\(\Rightarrow\text{BM là đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác của }\Delta BKC\)

\(\text{Có BK là đường phân giác của tam giác BKC (cmt)}\)

\(\Rightarrow\text{BK là đường phân giác của}\widehat{KBC}\)

\(\text{Mà BE cũng là đường phân giác của}\widehat{BAH}\)

\(\Rightarrow\text{BE trùng BK hay ba điểm B ; E ; K thẳng hàng}\)