Question

[Anh Huỳnh]

1. Cho tỉ lệ thức: \(\frac{a}{b}\)= \(\frac{c}{d}\)

Chứng minh rằng \(\frac{ac}{bd}\)= \(\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}\)

2. a) Tìm các số a, b, c biết 2a= 5b= 3c ; a+ b— c= —44

    b) Tìm x, y biết 4x = 5y và xy = 80

3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

A = | x— 2011 | + | x — 200 |

4. CMR: a²⁰b¹¹c²⁰¹¹= d²⁰⁴²

Answer 1

[Hoàng Phương Mai]

1.Đặt \(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\Rightarrow a=bk;c=dk\) 

 Ta có :\(\frac{ac}{bd}=\frac{bk.dk}{bd}=k^2\)

\(\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\frac{\left(bk\right)^2+\left(dk\right)^2}{b^2+d^2}=\frac{b^2k^2+d^2k^2}{b^2+d^2}=\frac{k^2\left(b^2+d^2\right)}{b^2+d^2}=k^2\)

Vậy \(\frac{ac}{bd}=\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}\)

2.a)   Từ 2a=5b=3c suy ra \(\frac{2a}{30}=\frac{5b}{30}=\frac{3c}{30}\Rightarrow\frac{a}{15}=\frac{b}{6}=\frac{c}{10}\)

Áp dụng t/c của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

\(\frac{a}{15}=\frac{b}{6}=\frac{c}{10}=\frac{a+b-c}{15+6-10}=\frac{-44}{11}=-4\)

Khi đó: \(\frac{a}{15}=-4\Rightarrow a=-4.15=-60\)

\(\frac{b}{6}=-4\Rightarrow b=-4.6=-24\)

\(\frac{c}{10}=-4\Rightarrow c=-40\)

Vậy a=-60;b=-24;c=-40

b) Từ 4x=5y suy ra\(\frac{x}{5}=\frac{y}{4}\)

Đặt \(\frac{x}{5}=\frac{y}{4}=k\)  suy ra x=5k;y=4k

Ta có : 5k.4k=80

           \(\Rightarrow20k^2=80\)

            \(\Rightarrow k^2=4\)

            \(\Rightarrow k=\pm2\)

Với k=2 thì x=5.2=10; y=4.2=8

Với k=-2 thì x=5-(-2)=-10; y=4.(-2)=-8

3. Ta có : |x-2011|+|x-200|=|-x+2022|+|x-200|

Áp dụng t/c của công thức |a|+|b|\(\ge\)|a+b| ta có

\(\left|-x+2011\right|+\left|x-200\right|\ge\left|-x+2011+x-200\right|=1811\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi : (-x+2011)(x-200)\(\ge0\)

Suy ra : \(\orbr{\begin{cases}\hept{\begin{cases}-x+2011\ge0\\x-200\ge0\end{cases}}\\\hept{\begin{cases}-x+2011\le0\\x-200\le0\end{cases}}\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}\hept{\begin{cases}x\le2011\\x\ge200\end{cases}}\\\hept{\begin{cases}x\ge2011\\x\le200\end{cases}}\end{cases}\Rightarrow}200\le x\le2011\frac{ }{ }\)

Vậy GTNN của A bằng 1811 khi và chỉ khi  \(200\le x\le2011\)

4.đề bài thiếu hả ?

Answer 2

[Thanh Hằng Nguyễn]

1/ Đặt :

\(\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=k\) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=bk\\c=dk\end{cases}}\)

\(\frac{ac}{bd}=\frac{bk.dk}{bd}=\frac{bd.k^2}{bd}=k^2\left(1\right)\)

\(\frac{a^2+c^2}{b^2+d^2}=\frac{\left(bk\right)^2+\left(dk\right)^2}{b^2+d^2}=\frac{b^2.k^2+d^2.k^2}{b^2+d^2}=\frac{k^2\left(b^2+d^2\right)}{b^2+d^2}=k^2\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right)+\left(2\right)\Leftrightarrowđpcm\)

2/ \(2a=5b=3c\)

\(\Leftrightarrow\frac{2a}{30}=\frac{5b}{30}=\frac{3c}{30}\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{15}=\frac{b}{6}=\frac{c}{10}\)

Theo t/c dãy tỉ số bằng nhau ta có :

\(\frac{a}{15}=\frac{b}{6}=\frac{c}{10}=\frac{a+b-c}{15+6-10}=\frac{-44}{11}=-4\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{a}{15}=-4\\\frac{b}{6}=-4\\\frac{c}{10}=-4\end{cases}}\) \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=-60\\b=-24\\c=-40\end{cases}}\)

Vạy ...

b/ \(4x=5y\)

\(\Leftrightarrow\frac{x}{5}=\frac{y}{4}\)

Đặt : \(\frac{x}{5}=\frac{y}{4}=k\)\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=5k\\y=4k\end{cases}}\)

Lại có : \(xy=80\)

\(\Leftrightarrow5k.4k=80\)

\(\Leftrightarrow20k=80\)

\(\Leftrightarrow k=4\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=5.4=20\\y=4.4=16\end{cases}}\)

Vậy ...