Question

[Mon an]

Trên tiếp tuyến tại A của (O; R) lấy điểm B với AB = R. Từ A kẻ đường vuông góc với OB tại H, cắt (O) tại C. OB cắt cung nhỏ AC tại I.

a) Chứng minh: BC là tiếp tuyến của đường tròn (O).

b) Tính theo R độ dài BH, IH và AI.

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a: Ta có: ΔOAC cân tại O

mà OB là đường cao

nên OB là phân giác của góc AOC

Xét ΔOAB và ΔOCB có

OA=OC

\(\widehat{AOB}=\widehat{COB}\)

OB chung

Do đó: ΔOAB=ΔOCB

=>\(\widehat{OAB}=\widehat{OCB}=90^0\)

=>BC là tiếp tuyến của (O)

b: Ta có: ΔABO vuông tại A

=>\(BO^2=BA^2+AO^2\)

=>\(BO^2=R^2+R^2=2R^2\)

=>\(BO=R\sqrt{2}\)

Xét ΔBOA vuông tại A có AH là đường cao

nên \(BH\cdot BO=BA^2\)

=>\(BH\cdot R\sqrt{2}=R^2\)

=>\(BH=\dfrac{R^2}{R\sqrt{2}}=\dfrac{R}{\sqrt{2}}\)

Xét ΔABO vuông tại A có AO=AB

nên ΔABO vuông cân tại A

=>\(\widehat{ABO}=\widehat{AOB}=45^0\)

Xét ΔAOI có \(cosAOI=\dfrac{OA^2+OI^2-AI^2}{2\cdot OA\cdot OI}\)

=>\(\dfrac{R^2+R^2-AI^2}{2\cdot R\cdot R}=cos45=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

=>\(2R^2-AI^2=2R^2\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}=R^2\cdot\sqrt{2}\)

=>\(AI^2=2R^2-R^2\cdot\sqrt{2}\)

=>\(AI^2=R^2\left(2-\sqrt{2}\right)\)

=>\(AI=R\cdot\sqrt{2-\sqrt{2}}\)

Xét ΔOHA vuông tại H có \(cosHOA=\dfrac{HO}{OA}\)

=>\(\dfrac{HO}{R}=cos45=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

=>\(HO=R\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

OH+HI=OI

=>\(HI+\dfrac{R\sqrt{2}}{2}=R\)

=>\(HI=R-\dfrac{R\sqrt{2}}{2}=R\left(1-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}\cdot R\)