giups minh cau 1d, 2c , cam on nhieu1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đường tròn tâm (O) đường kính BC cắt hai cạnh Ab , AC lần lượt tại E và F. Gọi H là giao điểm của CE và BF, D là giao điểm của AD và BC.a) Chứng minh AEHF nội tiếpb) Chứng minh EC là tia phân giác của góc DEFc) Đường thẳng EF cắt BC tại M, Chứng minh MB.MC=ME.MF=MO.MDd) AD cắt đường tròn (O) tại I, chứng minh MI là tiếp tuyến của...
Đọc tiếp
giups minh cau 1d, 2c , cam on nhieu
1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. Đường tròn tâm (O) đường kính BC cắt hai cạnh Ab , AC lần lượt tại E và F. Gọi H là giao điểm của CE và BF, D là giao điểm của AD và BC.
a) Chứng minh AEHF nội tiếp
b) Chứng minh EC là tia phân giác của góc DEF
c) Đường thẳng EF cắt BC tại M, Chứng minh MB.MC=ME.MF=MO.MD
d) AD cắt đường tròn (O) tại I, chứng minh MI là tiếp tuyến của (O)
e) Đường thẳng qua D song song với MF, cắt AB và AC lần lượt tại K và L. Chứng minh : M, K, L, O cùng thuộc một đường tròn.
2. Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB và AC đến (O) (B và C là các tiếp điểm) và một cát tuyến ADE không đi qua tâm O (D nằm giữa A và E), gọi I là trung điểm của DE.
a) Chứng minh 5 điểm A;B;O;I;C cùng nằm trên một đường tròn suy ra IA là phân giác của góc BIC
b) BC cắt AE tại K. Chứng minh KA.KI=KD.KE
c) Qua C kẻ đường thẳng song với AB, đường này cắt các đướng thẳng BE, BD lần lượt tại P và Q. Chứng minh C là trung điểm của PQ.
d) Đường thẳng OI cắt đường tròn (O) tại S và H. Đường thẳng HK cắt (O) tại điểm thứ hai là T. Chứng minh 3 điểm A, T, S thẳng hàng
Gọi giao điểm khác K của 2 đường tròn (BSK) và (CTK) là L.
Ta có: ^KSIa + ^KTIa = ^AYIa + ^AXIa = 1800 => Tứ giác SKTIa nội tiếp
Khi đó: Áp dụng ĐL Miquel vào \(\Delta\)BCIa ta có B,L,C thẳng hàng và LZ là phân giác ^SLT
Xét \(\Delta\)LST: Phân giác trong LZ => \(\frac{ZS}{ZT}=\frac{LS}{LT}\) (ĐL đường phân giác trong tam giác)
Ta thấy: ^CTL = ^CKL = ^CBIa => Tứ giác BLTIa nội tiếp => ^CIaL = ^CBT
Do ^BCT= ^YCIa;^CTB = ^CSIa = ^AYIa nên ^CIaL = ^CIaY. Từ đó: \(\Delta\)CLIa = \(\Delta\)CYIa (g.c.g)
=> \(\Delta\)CLT = \(\Delta\)CYT (c.g.c) => LT = YT. Tương tự: LS = XS. Từ đấy kết hợp với \(\frac{ZS}{ZT}=\frac{LS}{LT}\) (cmt)
Suy ra: \(\frac{ZS}{ZT}=\frac{XS}{YT}\). Ta lại có: ^XSZ = ^IaSX + ^IaSZ = 1800 - ^LKB + ^IaKT = ^LKT - ^IaKT = ^LKIa
= ^CKL + ^CKZ = ^CTL + ^CTZ = ^CTY + ^CTZ = ^YTZ. Do đó: \(\Delta\)SZX ~ \(\Delta\)TZY (c.g.c)
=> ^SZX = ^TZY. Mà S,Z,T thẳng hàng nên X,Y,Z thẳng hàng (đpcm).