Question

[Thầy Tùng Dương]

Cho $\triangle A B C$ với $I, J, K$ lần lượt được xác định bời $\overrightarrow{I B}=2 \overrightarrow{I C} ; \overrightarrow{J C}=-\dfrac{1}{2} \overrightarrow{J A} ; \overrightarrow{K A}=-\overrightarrow{K B}$.
a) Tính $\overrightarrow{I J} ; \overrightarrow{I K}$ theo $\overrightarrow{A B} ; \overrightarrow{A C}$.
b) Chứng minh ba điểm $I, J, K$ thẳng hàng.

Answer 1

[Đồng Nhân Gia Bảo]

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Answer 2

[Demon]

b) Ta có :

\(IB=2IC\Leftrightarrow IB=2\left(IB+BC\right)\Leftrightarrow-IB=2BC\Leftrightarrow BI=2BC\)

\(JC=-\frac{1}{2}JA\Leftrightarrow JB+BC=-\frac{1}{2}\left(JB+BA\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{3}{2}JB=-\frac{1}{2}BA-BC\Leftrightarrow JB=-\frac{1}{3}BA-\frac{2}{3}BC\)

\(\Rightarrow BJ=\frac{1}{3}BA+\frac{2}{3}BC\)

\(\Rightarrow IJ=BJ-BI=\frac{1}{3}BA+\frac{2}{3}BC-2BC=\frac{1}{3}BA-\frac{4}{3}BC\)

\(KA=-KB\Leftrightarrow KB+BA=-KB\Leftrightarrow2KB=-BA\)

\(\Rightarrow2BK=BA\Leftrightarrow BK=\frac{1}{2}BA\)

\(\Rightarrow JK=BK-BJ=\frac{1}{2}BA-\frac{2}{3}BC=\frac{1}{6}BA-\frac{2}{3}BC\)

\(=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{3}BA-\frac{4}{3}BC\right)=\frac{1}{2}IJ\)

Vậy \(I,J,K\)thẳng hàng