Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt AC; BC lần lượt tại M và N
Xét \(\Delta\)CMN có: CO là phân giác đồng thời là đường cao
=> \(\Delta\)CMN cân
=> ^CMN = ^CNM => ^CMO = ^CNO => ^AMO = ^BNO
=> ^MAO + ^AOM = ^NBO + ^BON ( 1)
Xét trong \(\Delta\)BOA ta có: ^ABO + ^BAO = ^AOM + ^BON ( = 180 \(^o\)- ^AOB )
=> ^NBO + ^MAO = ^AOM+ ^BON ( AO ; BO là phân giác ^A; ^B ) (2)
Từ (1)- (2) => ^AOM - ^NBO = ^NBO - ^AOM
=> ^AOM = ^NBO (3)
Từ (3) dễ dàng chứng minh đươc \(\Delta\)AOM ~ \(\Delta\)OBN ~ \(\Delta\)ABO ( g-g ) ( tự chứng minh )
Có: \(\Delta\)AOM ~ \(\Delta\)OBN => \(\frac{AM}{ON}=\frac{OM}{BN}\)=> AM.BN = OM. ON (4)
Có: \(\Delta\)OBN ~ \(\Delta\)ABO => \(\frac{OB}{BN}=\frac{AB}{OB}\)=> OB.OB = AB.BN => \(\frac{OB^2}{AB.BC}=\frac{BN}{BC}\)(5)
Có: \(\Delta\)AOM ~ \(\Delta\)ABO => \(\frac{OA}{AM}=\frac{AB}{OA}\)=> OA.OA =AM.AB => \(\frac{OA^2}{AB.AC}=\frac{AM}{AC}\)(6)
Xét \(\Delta\)cân CMN có: OM = ON ; CM = CN
Xét \(\Delta\)CON vuông tại O => CN\(^2\)= ON\(^2\)+ OC\(^2\)
=> OC \(^2\)= CN\(^2\)- ON\(^2\)= CN.CM - ON.OM = ( BC - BN ) ( AC - AM ) - ON.OM
= BC.AC - BN. AC - BC.AM + BN. AM - ON . OM = BC. AC - BN.AC - BC.AM ( theo 4 => BN. AM - ON . OM = 0)
=> \(\frac{OC^2}{CA.CB}=1-\frac{BN}{BC}-\frac{AM}{AC}\)(7)
Từ (5); (6) (7) => \(\frac{OC^2}{AC.BC}=1-\frac{OA^2}{AB.AC}-\frac{OB^2}{BA.BC}\)
Chuyển vế => Điều phải chứng minh
a. Đặt \(S_{AOB}=c^2;S_{BOC}=a^2;S_{COA}=b^2\Rightarrow S_{ABC}=a^2+b^2+c^2\)
Ta có \(\frac{AM}{OM}=\frac{S_{ABC}}{S_{BOC}}=\frac{a^2+b^2+c^2}{a^2}=1+\frac{b^2+c^2}{a^2}\)
Vậy thì \(\frac{OA}{OM}=\frac{AM}{OM}-1=\frac{b^2+c^2}{a^2}\Rightarrow\sqrt{\frac{OA}{OM}}=\sqrt{\frac{b^2+c^2}{a^2}}\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)\)
Tương tự, ta có: \(\sqrt{\frac{OA}{OM}}+\sqrt{\frac{OB}{ON}}+\sqrt{\frac{OC}{OP}}\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{a}\right)\ge\frac{1}{\sqrt{2}}.6=3\sqrt{2}\)
Đặt \(S_{BOC}=x^2,S_{AOC}=y^2,S_{AOB}=z^2\) \(\Rightarrow S_{ABC}=S_{BOC}+S_{AOC}+S_{AOB}=x^2+y^2+z^2\)
Ta có : \(\frac{AD}{OD}=\frac{S_{ABC}}{S_{BOC}}=\frac{AO+OD}{OD}=1+\frac{AO}{OD}=\frac{x^2+y^2+z^2}{x^2}=1+\frac{y^2+z^2}{x^2}\)
\(\Rightarrow\frac{AO}{OD}=\frac{y^2+z^2}{x^2}\Rightarrow\sqrt{\frac{AO}{OD}}=\sqrt{\frac{y^2+z^2}{x^2}}=\frac{\sqrt{y^2+z^2}}{x}\)
Tương tự ta có \(\sqrt{\frac{OB}{OE}}=\sqrt{\frac{x^2+z^2}{y^2}}=\frac{\sqrt{x^2+z^2}}{y};\sqrt{\frac{OC}{OF}}=\sqrt{\frac{x^2+y^2}{z^2}}=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\)
\(\Rightarrow P=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}+\frac{\sqrt{y^2+z^2}}{x}+\frac{\sqrt{x^2+z^2}}{y}\ge\frac{x+y}{\sqrt{2}z}+\frac{y+z}{\sqrt{2}x}+\frac{x+z}{\sqrt{2}y}\)
\(=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+\left(\frac{y}{z}+\frac{z}{y}\right)+\left(\frac{x}{z}+\frac{z}{x}\right)\right]\ge\frac{1}{\sqrt{2}}\left(2+2+2\right)=3\sqrt{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\Rightarrow S_{BOC}=S_{AOC}=S_{AOB}=\frac{1}{3}S_{ABC}\)
\(\Rightarrow\frac{OD}{OA}=\frac{OE}{OB}=\frac{OF}{OC}=\frac{1}{3}\Rightarrow\)O là trọng tâm của tam giác ABC
Vậy \(MinP=3\sqrt{2}\) khi O là trọng tâm của tam giác ABC