Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
em mới lớp 7 nên không rành lắm về bất đẳng thức ạ :((
Ta có :\(a.b=1< =>a=\frac{1}{b}\)
Áp dụng bất đẳng thức :
Ta được \(A=\left(a+b+1\right)\left(a^2+b^2\right)+\frac{4}{a+b}\)
\(\ge\left(a+b+1\right)\left(2ab\right)+\frac{4}{a+b}\)
\(=\left(a+b+1\right).2+\frac{4}{a+b}\)
Áp dụng Bất đẳng thức Cauchy cho 2 số không âm
\(2\left(a+b+1\right)+\frac{4}{a+b}\ge2\sqrt[2]{\left[2\left(a+b\right)+2\right].\frac{4}{a+b}}\)
\(=2\sqrt[2]{\frac{8\left(a+b\right)+8}{a+b}}=2\sqrt[2]{\frac{8\left(\frac{1}{b}+b\right)+8}{\frac{1}{b}+b}}\left(+\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số không âm :
\(\frac{1}{b}+b\ge2\sqrt[2]{\frac{1}{b}.b}=2\)
Khi đó \(\left(+\right)< =>2\sqrt[2]{\frac{8.2+8}{2}}=2\sqrt[2]{12}=\sqrt[2]{48}\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=1\)
Vậy \(Min_A=\sqrt{48}\)khi \(a=b=1\)
\(\frac{1}{11xy}\sqrt{\frac{121x^2}{y^6}}=\frac{1}{11xy}.\frac{11x}{y^3}=\frac{1}{y^4}\)
1)
a/ \(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{14}}{2\sqrt{3}+\sqrt{28}}=\frac{\sqrt{3\cdot2}+\sqrt{2\cdot7}}{2\sqrt{3}+2\sqrt{7}}\)
\(=\frac{\sqrt{2}\left(\sqrt{3}+\sqrt{7}\right)}{2\left(\sqrt{3}+\sqrt{7}\right)}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
b/ \(\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{8}+\sqrt{16}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}}\)
\(=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}+\sqrt{8}+4}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{2}+\text{}\sqrt{3}+\sqrt{4}\right)+\left(\sqrt{6}+\sqrt{8}+\sqrt{4}\right)}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{2}+\text{}\sqrt{3}+\sqrt{4}\right)+\left(\sqrt{3\cdot2}+\sqrt{4\cdot2}+\sqrt{2\cdot2}\right)}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{2}+\text{}\sqrt{3}+\sqrt{4}\right)+\left(\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}+\sqrt{4}\cdot\sqrt{2}+\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}\right)}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{2}+\text{}\sqrt{3}+\sqrt{4}\right)+\sqrt{2}\left(\sqrt{2}+\text{}\sqrt{3}+\sqrt{4}\right)}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}}\)
\(=\frac{\left(\sqrt{2}+\text{}\sqrt{3}+\sqrt{4}\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{4}}=\sqrt{2}+1\)
2)
+ Ta Có :
\(\sqrt{a+b}\Rightarrow\left(\sqrt{a+b}\right)^2=a+b.\)
\(\sqrt{a}+\sqrt{b}\Rightarrow\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^2=\left(\sqrt{a}\right)^2+2\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}+\left(\sqrt{b}\right)^2\)
\(=a+2\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}+b\)
+ Ta Lại có \(2\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}>0\)
Tiếp tục có \(a+b\) và \(a+2\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}+b\)
\(\Rightarrow a+b< a+b+2\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\)
\(\Rightarrow\sqrt{a+b}< \sqrt{a}+\sqrt{b}\)
