Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Đặt \(d=\left(9n+2,12n+3\right)\).
Suy ra \(\hept{\begin{cases}9n+2⋮d\\12n+3⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}4\left(9n+2\right)⋮d\\3\left(12n+3\right)⋮d\end{cases}}\Rightarrow3\left(12n+3\right)-4\left(9n+2\right)=1⋮d\)
Suy ra \(d=1\), do đó ta có đpcm.
Đặt d=(9n+2,12n+3)d=(9n+2,12n+3).
Suy ra \hept{9n+2⋮d12n+3⋮d⇒\hept4(9n+2)⋮d3(12n+3)⋮d⇒3(12n+3)−4(9n+2)=1⋮d\hept{9n+2⋮d12n+3⋮d⇒\hept{4(9n+2)⋮d3(12n+3)⋮d⇒3(12n+3)−4(9n+2)=1⋮d
Suy ra d=1d=1, do đó ta có đpcm.
\(\dfrac{a}{b}-1=\dfrac{a^2+n^2}{b^2+n^2}-1\Rightarrow\dfrac{a-b}{b}=\dfrac{\left(a-b\right)\left(a+b\right)}{b^2+n^2}\)
TH1: \(a=b\) thì \(ab=a^2\) là SCP
TH2: \(a\ne b\Rightarrow\dfrac{1}{b}=\dfrac{a+b}{b^2+n^2}\)
\(\Rightarrow b^2+n^2=b\left(a+b\right)\Rightarrow ab=n^2\) là SCP
Xét \(P=x^2+y^2+2x\left(y-1\right)+2y+1\)
\(P=x^2+y^2+2xy-2x+2y+1\)
+) Nếu \(y>x\) thì \(2y-2x+1>0\). Do đó \(P>\left(x+y\right)^2\). Hơn nữa:
\(P< x^2+y^2+1+2xy+2x+2y\) \(=\left(x+y+1\right)^2\),
suy ra \(\left(x+y\right)^2< P< \left(x+y+1\right)^2\), vô lí vì P là SCP.
+) Nếu \(x>y\) thì \(2y-2x+1< 0\) nên \(P< \left(x+y\right)^2\)
Hơn nữa \(P>x^2+y^2+1+2xy-2x-2y\) \(=\left(x+y-1\right)^2\)
Suy ra \(\left(x+y-1\right)^2< P< \left(x+y\right)^2\), vô lí vì P là SCP.
Vậy \(x=y\) (đpcm)
(Cơ mà nếu thay \(x=y\) vào P thì \(P=4x^2+1\) lại không phải là SCP đâu)
Ta có: \(A=6n^2+5n+1=\left(3n+1\right)\left(2n+1\right)\)là số chính phương.
\(\Rightarrow3n+1,2n+1\)là số chính phương.
\(\Rightarrow3n+1=x^2;2n+1=y^2\)
\(\Rightarrow y\)lẻ.
\(\Rightarrow y=2k+1\Rightarrow2n+1=\left(2k+1\right)^2\Rightarrow n=2k\left(k+1\right)\)
\(\Rightarrow n\)chẵn.
\(\Rightarrow3n+1\) lẻ
\(\Rightarrow x\)lẻ.
\(\Rightarrow n=x^2-y^2⋮8\)
Lại có: \(x^2+y^2=5n+2\) chia \(5\)dư \(2\)
Vì số chính phương chia \(5\)dư \(0,1,4\)
\(\Rightarrow x^2,y^2\)chia \(5\)dư \(1\)
\(\Rightarrow x^2-y^2⋮5\)
\(\Rightarrow n⋮5\)
\(\Rightarrow n⋮5.8=40\left(đpcm\right)\)
\(A=\left(2n^2\right)^2+2.\left(2n^2\right).\left(3n\right)+\left(3n\right)^2-4n^2-6n+1\)
\(=\left(2n^2+3n\right)^2-2.\left(2n^2+3n\right)+1=\left(2n^2+3n-1\right)^2\)
thật ra nó là lớp 7 đấy nhưng mình nghĩ lớp 8 mới giỏi mói giải đc
Giả sử \(a^2+1\) và \(b^2+1\) cùng chia hết cho số nguyên tố p
\(\Rightarrow a^2-b^2⋮p\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)⋮p\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}a-b⋮p\\a+b⋮p\end{matrix}\right.\).
+) Nếu \(a-b⋮p\) thì ta có \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)-\left(a-b\right)^2⋮p\Rightarrow\left(ab+1\right)^2⋮p\Rightarrow ab+1⋮p\) (vô lí do (a - b, ab + 1) = 1)
+) Nếu \(a+b⋮p\) thì tương tự ta có \(ab-1⋮p\). (vô lí)
Do đó \(\left(a^2+1,b^2+1\right)=1\).
Giả sử \(\left(a+b\right)^2+\left(ab-1\right)^2=c^2\) với \(c\in\mathbb{N*}\)
Khi đó ta có \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)=c^2\).
Mà \(\left(a^2+1,b^2+1\right)=1\) nên theo bổ đề về số chính phương, ta có \(a^2+1\) và \(b^2+1\) là các số chính phương.
Đặt \(a^2+1=d^2(d\in\mathbb{N*})\Rightarrow (d-a)(d+a)=1\Rightarrow d=1;a=0\), vô lí.
Vậy ....
Đặt \(M=2+2\sqrt{12n^2+1}\)
Để M là số nguyên thì 12n2 + 1 là số chính phương lẻ
Đặt 12n2 + 1 = (2k -1)2 (k \(\in\) N)
<=> 12n2 + 1 = 4k2 - 4k +1
<=> 12n2 = 4k2 - 4k
<=> 3n2 = k(k - 1)
=> k(k - 1) chia hết cho 3 => k chia hết cho 3 hoặc k - 1 chia hết cho 3
TH1 : k ⋮ 3 => n2 =(\(\frac{k}{3}\)).(k - 1) Mà (\(\frac{k}{3}\) ; k-1 )= 1 nên đặt \(\frac{k}{3}\) = x2 => k = 3x2
và đặt k - 1 = y2 => k = y2 +1
=> 3x2 = y2 + 1 = 2 ( mod 3)
Vô lý vì 1 số chính phương chia cho 3 có số dư là 0 hoặc 1
TH2 : k - 1 ⋮ 3: ta có :
=> n2 = \(\frac{k\left(k-1\right)}{3}\) Mà ( k; (\(\frac{k-1}{3}\)) =1 nên đặt k = z2
=> M = 2 + 2(2k - 1) = 4k = 4z2 =(2z)2 là 1 số chính phương
=> M là một số chính phương ( đpcm )
\(2+2\sqrt{12n^2+1}\in Z^+\Rightarrow2\sqrt{12n^2+1}\in Z^+\Rightarrow\sqrt{12n^2+1}\in Q\)
\(\Rightarrow\sqrt{12n^2+1}=m\in Z^+\Rightarrow12n^2=m^2-1⋮4\Rightarrow m=2k+1,k\in Z\)
\(12n^2=\left(2k+1\right)^2-1=4k\left(k+1\right)\Rightarrow3n^2=k\left(k+1\right)⋮3\)hoặc \(k+1⋮3\)
TH1: \(k=3q,q\in Z\Rightarrow3n^2=3q\left(q+1\right)\Rightarrow n^2=q\left(q+1\right)\)
Vì \(\left(q,3q+1\right)=1\Rightarrow\hept{\begin{cases}q=a^2\\3q+1=b^2\end{cases}\Rightarrow3q^2+1=b^2}\)
Ta có: \(2+2\sqrt{12n^2+1}=2+2m=2+2\left(2k+1\right)=4+4.3q=4+12q^2=4b^2\)(CMT)
Ta có đpcm
TH2(tương tự):\(k=3q+1\)