Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ơ hơ mới thấy câu này cách đây vài ngày
Em show lại cách làm :")
Giả sử \(x>3;y>3;z>3\)
thì \(VT< \frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1< 2\left(ktm\right)\)
Vậy trong 3 số x,y,z có ít nhất 1 số nhỏ hơn 3
Mà x,y,z là các số nguyên dương nên
Coi x là số nhỏ hơn 3
\(\left(+\right)x=1\Rightarrow\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\)
\(\Leftrightarrow y+z=yz\)
\(\Leftrightarrow y-yz-1+z=-1\)
\(\Leftrightarrow\left(y-1\right)\left(z-1\right)=1\)
Dễ tìm được \(y=2;z=2\) \(\left(y=0;z=0\left(ktm\right)\right)\)
\(\left(+\right)x=2\Rightarrow\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow2y+2z=3yz\)
\(\Leftrightarrow6y-9yz-4+6z=-4\)
\(\Leftrightarrow\left(3y-2\right)\left(3z-2\right)=4\)
\(\Leftrightarrow\left(y,z\right)=\left(1,2\right);\left(2,1\right)\)( một số cặp khác ko thỏa mãn )
Vậy ta có các cặp x,y,z thỏa mãn : \(\left(1,2,2\right);\left(2,2,1\right);\left(2,2,1\right)\)
Nếu x; y; z là các số nguyên dương mà x y z = 1 => x = y = z = 1
=> bất đẳng thức luôn xảy ra dấu bằng
Sửa đề 1 chút cho z; y; x là các số dương
Ta có: \(\frac{x^2}{y+1}+\frac{y+1}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y+1}.\frac{y+1}{4}}=x\)
=> \(\frac{x^2}{y+1}\ge x-\frac{y+1}{4}\)
Tương tự:
\(\frac{x^2}{y+1}+\frac{y^2}{z+1}+\frac{z^2}{z+1}\ge x+y+z-\frac{y+1}{4}-\frac{z+1}{4}-\frac{x+1}{4}\)
\(=\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)-\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}.3\sqrt[3]{xyz}-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = y = z = 1
a/ \(M=\left(x^2+\frac{1}{y^2}\right)\left(y^2+\frac{1}{x^2}\right)=x^2y^2+\frac{1}{x^2y^2}+2=\left(xy-\frac{1}{xy}\right)^2+4\ge4\)
Suy ra Min M = 4 . Dấu "=" xảy ra khi x=y=1/2
b/ Đề đúng phải là \(\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\ge\frac{3}{2}\)
Ta có \(6=\frac{1}{x+y}+\frac{1}{y+z}+\frac{1}{z+x}\ge\frac{9}{2\left(x+y+z\right)}\Rightarrow x+y+z\ge\frac{3}{4}\)
Lại có \(\frac{1}{3x+3y+2z}+\frac{1}{3x+2y+3z}+\frac{1}{2x+3y+3z}\ge\frac{9}{8\left(x+y+z\right)}\ge\frac{9}{8.\frac{3}{4}}=\frac{3}{2}\)
1) đặt \(\sqrt{x-1}=a\left(a\ge0\right);\sqrt{y-4}=b\left(b\ge0;\right)\)
M = \(\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+4}\); a2 +1 \(\ge2a;b^2+4\ge4b\)=> M \(\le\frac{a}{2a}+\frac{b}{4b}=\frac{3}{4}\)
M đạt GTLN khi a=1, b=2 hay x=2; y= 8
2) <=> (x-y)2 + (x+2)2 =8 => (x+2)2\(\le8< =>\left|x+2\right|\le\sqrt{8}\approx2< =>-2\le x+2\le2< =>\)\(-4\le x\le0\)
x=-4 => (y+4)2 =4 <=> y = -2;y = -6
x=-3 => (y+3)2 = 7 (vô nghiệm); x=-1 => (y+1)2 =7 (vô nghiệm)
x=0 => y2 = 4 => y =2; =-2
vậy có các nghiệm (x;y) = (-4;-2); (-4;-6); (0;-2); (0;2)
3) \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}\ge2\frac{x}{z}\left(a^2+b^2\ge2ab\right)\); tương tự với các số còn lại ta được điều phải chứng minh
3) sửa lại
áp dụng a2+b2+c2 \(\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\)
\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{z^2}+\frac{z^2}{x^2}\ge\frac{\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\right)^2}{3}\ge\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\)(vì \(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge3\sqrt[3]{\frac{xyz}{yzx}}=3\))
dấu '=' khi x=y=z
Nếu \(x>3,y>3,z>3\) thì \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}< \frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=1\) (không thỏa)
Vậy trong ba số x,y,z tồn tại ít nhất một số nguyên dương không lớn hơn 3
Không mất tính tổng quát, ta giả sử x là số nhỏ nhất. Vậy thì \(x\le y,x\le z\Rightarrow x=1\) , x = 2 hoặc x = 3
Nếu x = 1 thì \(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\Leftrightarrow y+z=yz\) (bài toán tìm nghiệm nguyên kinh điển bạn tự làm nhé.)
Nếu x = 2 , x = 3 cũng tương tự.