![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(x^2+y^2+\left(\frac{1+xy}{x+y}\right)^2\ge2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-2xy+\left(\frac{1+xy}{x+y}\right)^2\ge2\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-2\left(xy+1\right)+\left(\frac{1+xy}{x+y}\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-\frac{2\left(x+y\right)\left(xy+1\right)}{\left(x+y\right)}+\left(\frac{1+xy}{x+y}\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y-\frac{xy+1}{x+y}\right)^2\ge0\) (đúng)
Vậy ...
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
@Trần Thùy Linh nói đúng đề rồi nhé
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge3\)
Áp dụng bđt Cauchy cho 3 số không âm :
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\ge3\sqrt[3]{\frac{xyz}{xyz}}=3\sqrt[3]{1}=3\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=x=1\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Theo Cauche ta có:
\(\left(x+y\right)^2+\left(\frac{1+xy}{x+y}\right)^2\ge2\left(x+y\right).\frac{1+xy}{x+y}=2\left(1+xy\right)=2+2xy\)
<=> \(x^2+y^2+2xy+\left(\frac{1+xy}{x+y}\right)^2\ge2+2xy\)
<=> \(x^2+y^2+\left(\frac{1+xy}{x+y}\right)^2\ge2+2xy-2xy=2\)=> ĐPCM
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
b)áp dụng Bđt cô si
\(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\ge2\sqrt{\frac{x^2}{y^2}\cdot\frac{y^2}{x^2}}=2\)
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}\cdot\frac{y}{x}}=2\)\(\Rightarrow-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\ge-6\)
\(\Rightarrow P\ge2+\left(-5\right)+5=1\)
Dấu = khi x=y
a)Áp dụng Bđt Cô si ta có:
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{x}{y}\cdot\frac{y}{x}}=2\)
Dấu = khi \(x=y\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a) Áp dụng đbt Cauchy cho 2 số không âm ta có :
\(x+\frac{4}{x}\ge2\sqrt{x\cdot\frac{4}{x}}=2\cdot\sqrt{4}=2\cdot2=4\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{4}{x}\\x=2\end{cases}\Leftrightarrow x=2}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(VT=x^2+y^2+\left(\frac{1+xy}{x+y}\right)^2=\left(x+y\right)^2+\left(\frac{1+xy}{x+y}\right)^2-2xy\)
\(VT\ge2\sqrt{\frac{\left(x+y\right)^2\left(1+xy\right)^2}{\left(x+y\right)^2}}-2xy=2\left|1+xy\right|-2xy\)
\(VT\ge2\left(1+xy\right)-2xy=2\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x+y\right)^2=1+xy\)
Cho các số x , y thỏa mãn x + y \(\ne\)0
Chứng minh : \(x^2+y^2+\left(\frac{1+xy}{x+y}\right)^2\ge2\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
thằng ngu lê anh tú ko biết gì thì im vào
Đặt \(\hept{\begin{cases}S=x+y\\P=xy\end{cases}}\)\(\Rightarrow x^2+y^2=S^2-2P\)
Ta cần chứng minh \(S^2-2P+\left(\frac{P+1}{S}\right)^2\ge2\)
\(\Leftrightarrow S^2-2\left(P+1\right)+\left(\frac{P+1}{S}\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow S^2-\frac{2S\left(P+1\right)}{S}+\left(\frac{P+1}{S}\right)^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(S-\frac{P+1}{S}\right)^2\ge0\) *luôn đúng*
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Do \(\left|x\right|\ge2;\left|y\right|\ge2\Rightarrow xy\ne0\)
Ta luôn có \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{1}{x}\le\frac{1}{\left|x\right|}\le\frac{1}{2}\\\frac{1}{y}\le\frac{1}{\left|y\right|}\le\frac{1}{2}\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\le\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1\)
\(\frac{xy}{x+y}=\frac{2003}{2004}\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}=\frac{2004}{2003}\Leftrightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{2004}{2003}\)
Ta có \(\frac{2004}{2003}>1\) mà \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\le1\Rightarrow VT< VP\Rightarrow\) phương trình vô nghiệm
\(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\Rightarrow\frac{x^2+y^2}{xy}-2\ge0\Rightarrow\frac{x^2+y^2-2xy}{xy}\ge0\Rightarrow\frac{\left(x-y\right)^2}{xy}\ge0\)
ta có \(\left(x-y\right)^2\ge0\) Với mọi x thuộc R
mà x,y là 2 số cùng dấu suy ra x.y\(\ge\)0 Với mọi x thuộc R
suy ra \(\frac{\left(x-y\right)^2}{xy}\ge0\Rightarrow\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\left(đpcm\right)\)