K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

2 tháng 11 2016

lời giải ở đây Câu hỏi của Hỏi Làm Gì - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

2 tháng 11 2016

mà bn vt đề sai thì fai

1 tháng 11 2016

Ta có 

\(2\sqrt{a^2-ab+b^2}\ge\frac{a+b}{2}=2×2c=4c\)

\(\sqrt{a^2-2ac+4c^2}\ge\frac{a+2c}{2}\)

\(\sqrt{b^2-2bc+4c^2}\ge\frac{b+2c}{2}\)

Cộng vế theo vế ta được

\(\ge4c+\frac{a+b+4c}{2}=8c\)

Đề sai rồi đề đúng phải là

\(2\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{a^2-2ac+4c^2}+\sqrt{b^2-2bc+4c^2}\ge8c\)

1 tháng 11 2016

VP=8C ms đúng ở đây 

Xem câu hỏi

Câu 19 , Đăk Lắk Cho các số thực dương x ; y ; z thỏa mãn \(x+2y+3z=2\)Tìm \(S_{max}=\sqrt{\frac{xy}{xy+3z}}+\sqrt{\frac{3yz}{3yz+x}}+\sqrt{\frac{3xz}{3xz+4y}}\)                                 GiảiĐặt \(\hept{\begin{cases}x=a\\2y=b\\3z=c\end{cases}}\left(a;b;c\right)>0\Rightarrow a+b+c=2\)Khi đó \(S=\sqrt{\frac{a.\frac{b}{2}}{a.\frac{b}{2}+c}}+\sqrt{\frac{\frac{b}{2}.c}{\frac{b}{2}.c+a}}+\sqrt{\frac{a.c}{a.c+2b}}\)             ...
Đọc tiếp

Câu 19 , Đăk Lắk 

Cho các số thực dương x ; y ; z thỏa mãn \(x+2y+3z=2\)

Tìm \(S_{max}=\sqrt{\frac{xy}{xy+3z}}+\sqrt{\frac{3yz}{3yz+x}}+\sqrt{\frac{3xz}{3xz+4y}}\)

                                 Giải

Đặt \(\hept{\begin{cases}x=a\\2y=b\\3z=c\end{cases}}\left(a;b;c\right)>0\Rightarrow a+b+c=2\)

Khi đó \(S=\sqrt{\frac{a.\frac{b}{2}}{a.\frac{b}{2}+c}}+\sqrt{\frac{\frac{b}{2}.c}{\frac{b}{2}.c+a}}+\sqrt{\frac{a.c}{a.c+2b}}\)

               \(=\sqrt{\frac{ab}{ab+2c}}+\sqrt{\frac{bc}{bc+2a}}+\sqrt{\frac{ac}{ac+2b}}\)

               \(=\sqrt{\frac{ab}{ab+\left(a+b+c\right)c}}+\sqrt{\frac{bc}{bc+\left(a+b+c\right)a}}+\sqrt{\frac{ac}{ac+\left(a+b+c\right)b}}\)

              \(=\sqrt{\frac{ab}{ab+ac+bc+c^2}}+\sqrt{\frac{bc}{bc+a^2+ab+ac}}+\sqrt{\frac{ac}{ac+ab+b^2+bc}}\)

             \(=\sqrt{\frac{ab}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}+\sqrt{\frac{bc}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}+\sqrt{\frac{ac}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}}\)

            \(\le\frac{\frac{a}{a+c}+\frac{b}{b+c}}{2}+\frac{\frac{b}{a+b}+\frac{c}{a+c}}{2}+\frac{\frac{a}{a+b}+\frac{c}{b+c}}{2}\left(Cauchy\right)\)

             \(=\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+c}+\frac{c}{a+c}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{b}{b+c}+\frac{c}{b+c}\right)+\frac{1}{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{a+b}\right)\)

             \(=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\)

Dấu "=" tại a = b = c

20, Thanh hóa

Cho a;b;c > 0 thỏa abc = 1

CMR \(\frac{ab}{a^4+b^4+ab}+\frac{bc}{b^4+c^4+bc}+\frac{ac}{a^4+c^4+ac}\le1\)

                                   Giải

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki có

\(\left(a^2+b^2\right)^2\le\left(1+1\right)\left(a^4+b^4\right)\)

\(\Rightarrow a^4+b^4\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2}=\frac{\left(a^2+b^2\right)\left(a^2+b^2\right)}{2}\ge\frac{2ab\left(a^2+b^2\right)}{2}=ab\left(a^2+b^2\right)\)

\(\Rightarrow a^4+b^4\ge ab\left(a^2+b^2\right)\)

Khi đó \(\frac{ab}{a^4+b^4+ab}\le\frac{ab}{ab\left(a^2+b^2\right)+ab}=\frac{1}{a^2+b^2+1}\)

Chứng minh tương tự \(\frac{bc}{b^4+c^4+bc}\le\frac{1}{b^2+c^2+1}\)

                                   \(\frac{ac}{a^4+c^4+ac}\le\frac{1}{a^2+c^2+1}\)

Khi đó \(VT\le\frac{1}{a^2+b^2+1}+\frac{1}{b^2+c^2+1}+\frac{1}{a^2+c^2+1}=A\)

Ta sẽ chứng minh A < 1

Thật  vậy

Đặt \(\left(a^2;b^2;c^2\right)\rightarrow\left(x^3;y^3;z^3\right)\)

\(\Rightarrow xyz=1\)

Khi đó \(A=\frac{1}{x^3+y^3+1}+\frac{1}{y^3+z^3+1}+\frac{1}{z^3+x^3+1}\)

Áp dụng bđt Cô-si có \(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2+y^2-xy\right)\ge\left(x+y\right)\left(2xy-xy\right)=xy\left(x+y\right)\)

\(\Rightarrow x^3+y^3\ge\left(x+y\right)xy\)

\(\Rightarrow x^3+y^3+1\ge\left(x+y\right)xy+1=\left(x+y\right)xy+xyz=xy\left(x+y+z\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x^3+y^3+1}\le\frac{1}{xy\left(x+y+z\right)}=\frac{xyz}{xy\left(x+y+z\right)}=\frac{z}{x+y+z}\)

Chứng minh tương tự \(\frac{1}{y^3+z^3+1}\le\frac{x}{x+y+z}\)

                                    \(\frac{1}{x^3+z^3+1}\le\frac{z}{x+y+z}\)

Khi đó \(A\le\frac{x+y+z}{x+y+z}=1\left(đpcm\right)\)

Dấu "=" tại x = y = z = 1

Đang trong quá trình cập nhật những câu tiếp theo , những câu tiếp theo sẽ ở trong phần bình luận

3
21 tháng 6 2019

34, Quảng Ninh

Cho x;y;z > 0 thỏa mãn x + y + z < 1

Tìm GTNN của biểu thức \(P=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{2019}{xy+yz+zx}\)

Ta có bđt sau : \(\frac{m^2}{a}+\frac{n^2}{b}\ge\frac{\left(m+n\right)^2}{a+b}\left(a;b>0\right)\)

Áp dụng ta được \(P=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{2019}{xy+yz+zx}\)

                                \(=\frac{1}{x^2+y^2+z^2}+\frac{4}{2\left(xy+yz+zx\right)}+\frac{2017}{xy+yz+zx}\)

                                \(\ge\frac{\left(1+2\right)^2}{x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)}+\frac{2017}{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}}\)

                               \(=\frac{9}{\left(x+y+z\right)^2}+\frac{6051}{\left(x+y+z\right)^2}\)

                                \(=\frac{6060}{\left(x+y+z\right)^2}\ge\frac{6060}{1}=6060\)

Dấu "=" tại x = y = z = 1/3

21 tháng 6 2019

39, Chuyên Hưng Yên

Với x;y là các số thực thỏa mãn \(\left(x+2\right)\left(y-1\right)=\frac{9}{4}\)

Tìm \(A_{min}=\sqrt{x^4+4x^3+6x^2+4x+2}+\sqrt{y^4-8y^3+24y^2-32y+17}\)

Ta có \(A=\sqrt{x^4+4x^3+6x^2+4x+2}+\sqrt{y^4-8y^3+24y^2-32y+17}\)

              \(=\sqrt{\left(x+1\right)^4+1}+\sqrt{\left(y-2\right)^4+1}\)

Đặt  \(\hept{\begin{cases}x+1=a\\y-2=b\end{cases}}\)

Thì \(A=\sqrt{a^4+1}+\sqrt{b^4+1}\)và giả thiết đã cho trở thành \(\left(a+1\right)\left(b+1\right)=\frac{9}{2}\)

Ta có bất đẳng thức \(\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{z^2+t^2}\ge\sqrt{\left(x+z\right)^2+\left(y+t\right)^2}\)(1)

Thật vậy

 \(\left(1\right)\Leftrightarrow x^2+y^2+2\sqrt{\left(x^2+y^2\right)\left(z^2+t^2\right)}+z^2+t^2\ge x^2+2xz+z^2+y^2+2yt+t^2\)

         \(\Leftrightarrow\sqrt{x^2z^2+x^2t^2+y^2z^2+y^2t^2}\ge xz+yt\)

*Nếu xz + yt < 0 thì bđt luôn đúng

*Nếu xz + yt > 0 thì bđt tương đương với

\(x^2z^2+x^2t^2+y^2z^2+y^2t^2\ge x^2z^2+2xyzt+y^2t^2\)

 \(\Leftrightarrow x^2t^2-2xyzt+y^2z^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(xt-yz\right)^2\ge0\)(Luôn đúng)

Vậy bđt (1) được chứng minh

Áp dụng (1) ta được \(A=\sqrt{a^4+1}+\sqrt{b^4+1}\ge\sqrt{\left(a^2+b^2\right)^2+\left(1+1\right)^2}\)

                                                                                              \(=\sqrt{\left(a^2+b^2\right)^2+4}\)

Ta có \(\left(a+1\right)\left(b+1\right)=\frac{9}{4}\)

\(\Leftrightarrow ab+a+b+1=\frac{9}{4}\)

\(\Leftrightarrow ab+a+b=\frac{5}{4}\)

Áp dụng bđt Cô-si có \(a^2+b^2\ge2ab\)

                                   \(2\left(a^2+\frac{1}{4}\right)\ge2a\)

                                  \(2\left(b^2+\frac{1}{4}\right)\ge2b\)

Cộng 3 vế vào được

\(3\left(a^2+b^2\right)+1\ge2\left(ab+a+b\right)=\frac{5}{2}\)

\(\Rightarrow a^2+b^2\ge\frac{1}{2}\)

Khi đó \(A\ge\sqrt{\left(a^2+b^2\right)^2+4}\ge\sqrt{\frac{1}{4}+4}=\frac{\sqrt{17}}{3}\)

Dấu ''=" tại \(\hept{\begin{cases}a=\frac{1}{2}\\b=\frac{1}{2}\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x+1=\frac{1}{2}\\y-2=\frac{1}{2}\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x=-\frac{1}{2}\\y=\frac{5}{2}\end{cases}}\)

4 tháng 6 2017

dự đoán dấu = xảy ra khi a=b=c.

theo AM-GM ta có: \(\sqrt{4a\left(a+3b\right)}\le\frac{1}{2}\left(5a+3b\right)\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{a\left(a+3b\right)}\le\frac{1}{4}\left(5a+3b\right)\)

thiết lập tương tự với các căn thức còn lại và cộng theo vế ta có:

\(VT\ge\frac{a+b+c}{\frac{1}{4}\left(8a+8b+8c\right)}=\frac{a+b+c}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{2}\)(đpcm)

3 tháng 12 2019

Ai phát hiện sai đề thì sửa và làm giúp mk hộ với, cảm ơn :) (chỉ cần làm tóm tắt thôi)

29 tháng 7 2016

a, Đặt \(\sqrt[4]{a}=x;\sqrt[4]{b}=y.\)Bất đẳng thức ban đầu trở thành: \(\frac{2x^2y^2}{x^2+y^2}\le xy.\)

ta có : \(x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow\frac{2x^2y^2}{x^2+y^2}\le\frac{2x^2y^2}{2xy}=xy.\)(đpcm ) 

dấu " = " xẩy ra khi x = y > 0 

vậy bất đăng thức ban đầu đúng. dấu " = " xẩy ra khi a = b >0

2 tháng 12 2020

Đặt \(\left(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c}\right)=\left(x,y,z\right)\)

\(x+y+z\ge\frac{x^2+2xy}{2x+y}+\frac{y^2+2yz}{2y+z}+\frac{z^2+2zx}{2z+x}\)

\(\Leftrightarrow x+y+z\ge\frac{3xy}{2x+y}+\frac{3yz}{2y+z}+\frac{3zx}{2z+x}\)

\(\frac{3xy}{2x+y}\le\frac{3}{9}xy\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)=\frac{1}{3}\left(x+2y\right)\)

\(\Rightarrow\Sigma_{cyc}\frac{3xy}{2x+y}\le\frac{1}{3}\left[\left(x+2y\right)+\left(y+2z\right)+\left(z+2x\right)\right]=x+y+z\)

Dấu "=" xảy ra khi x=y=z