Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Giả sử 4n3-5n-1 là SCP
Có 4n3-5n-1=(n+1)(4n2-4n-1)
Gọi (n+1; 4n2-4n-1)=d ( d thuộc N)
=> n+1 chia hết cho d và 4n2-4n-1 chia hết cho d
Mà 4n2-4n-1 =(n+1)(4n-8) + 7
=> 7 chia hết cho d
=> d = 7 hoặc 1
Có n(n+1) +7 không chia hết cho 7 => n(n+1) không chia hết cho 7 => n+1 không chia hết cho 7 => d khác 7
=> d=1
=> (n+1; 4n2-4n-1) =1
mả 4n3-5n-1=(n+1)(4n2-4n-1) là SCP
=> n+1 và 4n2-4n-1 đồng thời là SCP
=> 4n+4 và 4n2-4n-1 là SCP
=> 4n +4 + 4n2-4n-1 = 4n^2 +3 là SCP
mà 4n2+3 chia 4 dư 3
=> Vô lý
=> Giả sử sai
=> đccm
a) Từ giả thiếtta có thể đặt : \(n^2-1=3m\left(m+1\right)\)với m là 1 số nguyên dương
Biến đổi phương trình ta có :
\(\left(2n-1;2n+1\right)=1\)nên dẫn đến :
TH1 : \(2n-1=3u^2;2n+1=v^2\)
TH2 : \(2n-1=u^2;2n+1=3v^2\)
TH1 :
\(\Rightarrow v^2-3u^2=2\)
\(\Rightarrow v^2\equiv2\left(mod3\right)\)( vô lí )
Còn lại TH2 cho ta \(2n-1\)là số chính phương
b) Ta có :
\(\frac{n^2-1}{3}=k\left(k+1\right)\left(k\in N\right)\)
\(\Leftrightarrow n^2=3k^2+3k+1\)
\(\Leftrightarrow4n^2-1=12k^2+12k+3\)
\(\Leftrightarrow\left(2n-1\right)\left(2n+1\right)=3\left(2k+1\right)^2\)
- Xét 2 trường hợp :
TH1 : \(\hept{\begin{cases}2n-1=3p^2\\2n+1=q^2\end{cases}}\)
TH2 : \(\hept{\begin{cases}2n-1=p^2\\2n+1=3q^2\end{cases}}\)
+) TH1 :
Hệ \(PT\Leftrightarrow q^2=3p^2+2\equiv2\left(mod3\right)\)( loại, vì số chính phương chia 3 dư 0 hoặc 1 )
+) TH2 :
Hệ \(PT\Leftrightarrow p=2a+1\Rightarrow2n=\left(2a+1\right)^2+1\Rightarrow n^2=a^2+\left(a+1\right)^2\)( đpcm )
Lời giải:
$n^4+3n^3+4n^2+3n+1=(n+1)^2(n^2+n+1)$
Nếu đây là scp thì $n^2+n+1$ cũng phải là scp
Đặt $n^2+n+1=t^2$ với $t$ tự nhiên
$\Leftrightarrow 4n^2+4n+4=(2t)^2$
$\Leftrightarrow (2n+1)^2+3=(2t)^2$
$\Leftrightarrow 3=(2t-2n-1)(2t+2n+1)$
$\Rightarrow 2t+2n+1=3; 2t-2n-1=1$
$\Rightarrow n=0$ (trái giả thiết)
Vậy có nghĩa là $n^2+n+1$ không là scp với mọi $n\in\mathbb{N}^*$
$\Rightarrow n^4+3n^3+4n^2+3n+1$ không là scp với mọi $n\in\mathbb{N}^*$
Ta có đpcm.
Gọi 2 ps đó là a/b và c/d (ƯCLN (a,b) = 1; ƯCLN (c;d) = 1)
Ta có;
\(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=m\) (m thuộc Z)
=> \(\frac{ad+bc}{bd}=m\)
=> ad + bc = mbd (10
Từ (1) => ad + bc chia hết cho b
Mà bc chia hết cho b
=> ad chia hết cho b
Mà (a,b) = 1
=> d chia hết cho b (2)
Từ (1) => ad + bc chia hết cho d
Mà ad chia hết cho d
=> bc chia hết cho d
Mà (c,d) = 1
=> b chia hết cho d (3)
Từ (2) và (3) =>bh = d hoặc b = -d (đpcm)
