Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có:
\(21b+\frac{3}{a}=\frac{3}{a}+\frac{a}{3}+\frac{62a}{3}\ge2\sqrt{\frac{3}{a}.\frac{a}{3}}+\frac{62.3}{3}=2+62=64\left(a\ge3\right)\left(1\right)\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{3}{a}=\frac{a}{3}\)và \(a=3\Leftrightarrow a=3\)
\(\frac{21}{b}+3b=\frac{21}{b}+\frac{7b}{3}+\frac{2b}{3}\ge2\sqrt{\frac{21}{b}.\frac{7b}{3}}+\frac{2.3}{3}=14+2=16\left(b\ge3\right)\left(2\right)\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\frac{21}{b}=\frac{7b}{3}\)và \(b=3\Leftrightarrow b=3\)
Từ (1) và (2) suy ra điều cần chứng minh.
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=3\)
Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương ta có:
\(\left(1+\frac{1}{a}\right)^4+\left(1+\frac{1}{b}\right)^4+\left(1+\frac{1}{c}\right)^4\ge3\left(\sqrt[3]{\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)}\right)^4\)
Ta chứng minh: \(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)\ge\left(1+\frac{3}{2+abc}\right)^3\left(1\right)\)
Theo BĐT Cô - si ta có:
\(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)=1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{abc}\)
\(\ge1+\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}+\frac{3}{\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}}+\frac{1}{abc}=\left(1+\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}\right)^3\ge\left(1+\frac{3}{2+abc}\right)^3\)
(Vì \(abc+2=abc+1+1\ge3\sqrt[3]{abc}\))
Vậy \(\left(1\right)\) được chứng minh \(\Rightarrow BĐT\) đúng \(\forall a,b,c>0\)
Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow VT\ge3\sqrt[3]{\left[\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)\right]^4}\)
\(\Rightarrow VT\ge3\left(\sqrt[3]{1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{abc}}\right)^4\left(1\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\\\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{a^2b^2c^2}}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{abc}\ge1+3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)
\(+3\sqrt[3]{\frac{1}{a^2b^2c^2}}+\frac{1}{abc}\)
\(\Rightarrow1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{abc}\ge\left(1+\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}\right)^3\)
\(\Rightarrow3\left(\sqrt[3]{1+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}+\frac{1}{abc}}\right)^4\)
\(\ge3\left(1+\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}\right)^4\)
\(\left(2\right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz
\(\Rightarrow\sqrt[3]{abc}\le\frac{abc+1+1}{3}=\frac{abc+2}{3}\)
\(\Rightarrow1+\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}\ge1+\frac{3}{abc+2}\)
\(\Rightarrow3\left(1+\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}\right)^4\ge3\left(1+\frac{3}{abc+2}\right)^4\left(3\right)\)
Từ (1) , (2) và (3)
\(\Rightarrow VT\ge3\left(1+\frac{3}{abc+2}\right)^4\)
\(\Leftrightarrow\left(1+\frac{1}{a}\right)^4+\left(1+\frac{1}{b}\right)^4+\left(1+\frac{1}{c}\right)^4\ge3\left(1+\frac{3}{2+abc}\right)^4\left(đpcm\right)\)
Chúc bạn học tốt !!!
bài 2 thì bạn áp dụng bdt cô si với lựa chọn điểm rơi hoặc bdt holder ( nó giống kiểu bunhia ngược ) . bai 1 thi ap dung cai nay \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}>=\frac{1}{x+y}\) câu 1 khó hơn nhưng bạn biết lựa chọn điểm rơi với áp dụng bdt phụ kia là ok .
Bài 1:Đặt VT=A
Dùng BĐT \(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9\Rightarrow\frac{1}{x+y+z}\le\frac{1}{9}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)x,y,z>0\)
Áp dụng vào bài toán trên với x=a+c;y=b+a;z=2b ta có:
\(\frac{ab}{a+3b+2c}=\frac{ab}{\left(a+c\right)+\left(b+c\right)+2b}\le\frac{ab}{9}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{2b}\right)\)
Tương tự với 2 cái còn lại
\(A\le\frac{1}{9}\left(\frac{bc+ac}{a+b}+\frac{bc+ab}{a+c}+\frac{ab+ac}{b+c}\right)+\frac{1}{18}\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow A\le\frac{1}{9}\left(a+b+c\right)+\frac{1}{18}\left(a+b+c\right)=\frac{a+b+c}{6}\)
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c
Bài 2:
Biến đổi BPT \(4\left(\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\right)\ge3\)
\(\Rightarrow\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{b^3}{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}+\frac{c^3}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)}\ge\frac{3}{4}\)
Dự đoán điểm rơi xảy ra khi a=b=c=1
\(\frac{a^3}{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}+\frac{1+b}{8}+\frac{1+c}{8}\ge\frac{3a}{4}\)
Tương tự suy ra
\(VT\ge\frac{2\left(a+b+c\right)-3}{4}\ge\frac{2\cdot3\sqrt{abc}-3}{4}=\frac{3}{4}\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(VT=a^2+b^2+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+a+b\)
\(=1+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+a+b\)
\(=1+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{1}{a}+2a\right)+\left(\frac{1}{b}+2b\right)-\left(a+b\right)\)
\(\ge3+2\sqrt{\frac{1}{a}\cdot2a}+2\sqrt{\frac{1}{b}\cdot2b}-\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\)
\(\ge3+4\sqrt{2}-\sqrt{2}=3+3\sqrt{2}=3\left(1+\sqrt{2}\right)\)
Khi \(a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Bài hay quá!
Theo bất đẳng thức Cô-Si cho 3 số dương ta có
\(\left(1+\frac{1}{a}\right)^4+\left(1+\frac{1}{b}\right)^4+\left(1+\frac{1}{c}\right)^4\ge3\sqrt[3]{\left(1+\frac{1}{a}\right)^4\left(1+\frac{1}{b}\right)^4\left(1+\frac{1}{c}\right)^4}\).
Do đó ta chỉ cần chứng minh \(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)\ge\left(1+\frac{3}{2+abc}\right)^3.\) (Lúc đó kết hợp hai bất đẳng thức ta được ngay điều phải chứng minh).
Thực vậy, đầu tiên áp dụng bất đẳng thức Cô-Si cho 3 số dương ta có
\(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)=1+\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)+\frac{1}{abc}\ge\)
\(\ge1+\frac{3}{\sqrt[3]{abc}}+\frac{3}{\sqrt[3]{a^2b^2c^2}}+\frac{1}{abc}=\left(1+\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}\right)^3.\)
Mặt khác ta có \(2+abc=1+1+abc\ge3\sqrt[3]{abc}\to\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}\ge\frac{3}{2+abc}\to\)
\(\left(1+\frac{1}{a}\right)\left(1+\frac{1}{b}\right)\left(1+\frac{1}{c}\right)\ge\left(1+\frac{3}{2+abc}\right)^3.\) (ĐPCM)
1. Phương pháp 1: ( Hình 1)
Nếu 
thì ba điểm A; B; C thẳng hàng.
2. Phương pháp 2: ( Hình 2)
Nếu AB // a và AC // a thì ba điểm A; B; C thẳng hàng.
(Cơ sở của phương pháp này là: tiên đề Ơ – Clit- tiết 8- hình 7)
3. Phương pháp 3: ( Hình 3)
Nếu AB 
a ; AC A thì ba điểm A; B; C thẳng hàng.
( Cơ sở của phương pháp này là: Có một và chỉ một đường thẳng
a’ đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng a cho trước
- tiết 3 hình học 7)
Hoặc A; B; C cùng thuộc một đường trung trực của một
đoạn thẳng .(tiết 3- hình 7)
4. Phương pháp 4: ( Hình 4)
Nếu tia OA và tia OB là hai tia phân giác của góc xOy
thì ba điểm O; A; B thẳng hàng.
Cơ sở của phương pháp này là:
Mỗi góc có một và chỉ một tia phân giác .
* Hoặc : Hai tia OA và OB cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox , 
thì ba điểm O, A, B thẳng hàng.
5. Nếu K là trung điểm BD, K’ là giao điểm của BD và AC. Nếu K’
Là trung điểm BD thì K’ 
K thì A, K, C thẳng hàng.
(Cơ sở của phương pháp này là: Mỗi đoạn thẳng chỉ có một trung điểm)
C. Các ví dụ minh họa cho tùng phương pháp:
Phương pháp 1
Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông ở A, M là trung điểm AC. Kẻ tia Cx vuông góc CA
(tia Cx và điểm B ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC). Trên tia Cx lấy điểm
D sao cho CD = AB.
Chứng minh ba điểm B, M, D thẳng hàng.
Gợi ý: Muốn B, M, D thẳng hàng cần chứng minh 
Do 
nên cần chứng minh 
BÀI GIẢI:
AMB và CMD có: 
AB = DC (gt).
MA = MC (M là trung điểm AC)
Do đó: AMB = CMD (c.g.c). Suy ra:
Mà (kề bù) nên .
Vậy ba điểm B; M; D thẳng hàng.
Ví dụ 2. Cho tam giác ABC. Trên tia đối của AB lấy điểm D mà AD = AB, trên tia đối
tia AC lấy điểm E mà AE = AC. Gọi M; N lần lượt là các điểm trên BC và ED
sao cho CM = EN.
Chứng minh ba điểm M; A; N thẳng hàng.
Gợi ý: Chứng minh 
từ đó suy ra ba điểm M; A; N thẳng hàng.
BÀI GIẢI (Sơ lược)
ABC = ADE (c.g.c) 
ACM = AEN (c.g.c) 
Mà 
(vì ba điểm E; A; C thẳng hàng) nên
Vậy ba điểm M; A; N thẳng hàng (đpcm)
BÀI TẬP THỰC HÀNH CHO PHƯƠNG PHÁP 1
Bài 1: Cho tam giác ABC. Trên tia đối của tia AB lấy điểm D sao cho AD = AC, trên tia đối
của tia AC lấy điểm E sao cho AE = AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BE và
CD.
Chứng minh ba điểm M, A, N thẳng hàng.
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông ở A có 
. Vẽ tia Cx BC (tia Cx và điểm A ở
phía ở cùng phía bờ BC), trên tia Cx lấy điểm E sao cho CE = CA. Trên tia đối của tia
BC lấy điểm F sao cho BF = BA.
Chứng minh ba điểm E, A, F thẳng hàng.
Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A, điểm D thuộc cạnh AB. Trên tia đối của tia CA lấy điểm
E sao cho CE = BD. Kẻ DH và EK vuông góc với BC (H và K thuộc đường thẳng BC)
Gọi M là trung điểm HK.
Chứng minh ba điểm D, M, E thẳng hàng.
Bài 4: Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AB, kẻ
Hai tia Ax và By sao cho 
.Trên Ax lấy hai điểm C và E(E nằm giữa A và C),
trên By lấy hai điểm D và F ( F nằm giữa B và D) sao cho AC = BD, AE = BF.
Chứng minh ba điểm C, O, D thẳng hàng , ba điểm E, O, F thẳng hàng.
Bài 5.Cho tam giác ABC . Qua A vẽ đường thẳng xy // BC. Từ điểm M trên cạnh BC, vẽ các
đường thẳng song song AB và AC, các đường thẳng này cắt xy theo thứ tự tại D và E.
Chứng minh các đường thẳng AM, BD, CE cùng đi qua một điểm.
PHƯƠNG PHÁP 2
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, AB. Trên
Các đường thẳng BM và CN lần lượt lấy các điểm D và E sao cho M là trung
điểm BD và N là trung điểm EC.
Chứng minh ba điểm E, A, D thẳng hàng.
Hướng dẫn: Xử dụng phương pháp 2
Ta chứng minh AD // BC và AE // BC.
BÀI GIẢI.
BMC và DMA có:
MC = MA (do M là trung điểm AC)
(hai góc đối đỉnh)
MB = MD (do M là trung điểm BD)
Vậy: BMC = DMA (c.g.c)
Suy ra: 
, hai góc này ở vị trí so le trong nên BC // AD (1)
Chứng minh tương tự : BC // AE (2)
Điểm A ở ngoài BC có một và chỉ một đường thẳng song song BC nên từ (1)
và (2) và theo Tiên đề Ơ-Clit suy ra ba điểm E, A, D thẳng hàng.
Ví dụ 2: Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tai trung điểm O của mỗi đoạn. Trên tia
AB lấy lấy điểm M sao cho B là trung điểm AM, trên tia AD lấy điểm N sao cho
D là trung điểm AN.