![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Giả thiết thiếu rồi em, chỗ \(\dfrac{1}{x+1}+...\) thiếu đoạn sau nữa
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
chứng minh là đề sai nhé :
\(2\sqrt{x}=1+\sqrt{y}\ge1\) \(\Rightarrow\sqrt{x}\ge\frac{1}{2}\Rightarrow x\ge\frac{1}{4}\)
\(x+y\ge\frac{1}{4}>\frac{1}{5}\)( ko có dấu bằng xảy ra )
mình nghĩ sửa \(2\sqrt{x}-\sqrt{y}=1\)thành \(2\sqrt{x}+\sqrt{y}=1\)
Khi đó: Áp dụng BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski , ta có :
\(\left(2.\sqrt{x}+1.\sqrt{y}\right)^2\le\left(2^2+1^2\right)\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow x+y\ge\frac{1}{5}\) . Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\frac{2}{\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{y}}\\2\sqrt{x}+\sqrt{y}=1\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=\frac{4}{25}\\y=\frac{1}{25}\end{cases}}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đặt \(\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}};\dfrac{1}{\sqrt{y}};\dfrac{1}{\sqrt{z}}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow\dfrac{a^2}{a^2+1}+\dfrac{b^2}{b^2+1}+\dfrac{c^2}{c^2+1}=1\)
Ta cần chứng minh: \(ab+bc+ca\le\dfrac{3}{2}\)
Thật vậy, ta có:
\(1=\dfrac{a^2}{a^2+1}+\dfrac{b^2}{b^2+1}+\dfrac{c^2}{c^2+1}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+3}\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+3\ge a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Rightarrow ab+bc+ca\le\dfrac{3}{2}\) (đpcm)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Áp dụng bđt \(\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)\ge\left(ac+bd\right)^2\)
Dấu bằng xảy ra khi \(ad=bc\)
\(x\sqrt{1-y^2}+\sqrt{1-x^2}.y\le\left|x\sqrt{1-y^2}+\sqrt{1-x^2}.y\right|\le\sqrt{x^2+1-x^2}.\sqrt{1-y^2+y^2}=1\)
Dấu bằng xảy ra khi \(xy=\sqrt{1-x^2}.\sqrt{1-y^2}\Leftrightarrow x^2y^2=x^2y^2+1-\left(x^2+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2=1\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Ta có x + y + z = 1 nên z = 1 - x - y.
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
\(\dfrac{\sqrt{xy+z\left(x+y+z\right)}+\sqrt{2x^2+2y^2}}{1+\sqrt{xy}}\ge1\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}+\sqrt{2x^2+2y^2}\ge1+\sqrt{xy}\).
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy - Schwarz:
\(\left(z+x\right)\left(z+y\right)\ge\left(\sqrt{z}.\sqrt{z}+\sqrt{x}.\sqrt{y}\right)^2=\left(z+\sqrt{xy}\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\ge z+\sqrt{xy}=\sqrt{xy}-x-y+1\); (1)
\(\sqrt{2x^2+2y^2}=\sqrt{\left(1+1\right)\left(x^2+y^2\right)}\ge x+y\). (2)
Cộng vế với vế của (1), (2) ta có đpcm.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\dfrac{\sqrt{1+x^3+y^3}}{xy}>=\sqrt{\dfrac{3}{xy}}\)
\(\dfrac{\sqrt{1+y^3+z^3}}{yz}>=\sqrt{\dfrac{3}{yz}}\)
\(\dfrac{\sqrt{1+z^3+x^3}}{xz}>=\sqrt{\dfrac{3}{xz}}\)
=>\(VT>=\sqrt{3}\left(\dfrac{1}{\sqrt{xy}}+\dfrac{1}{\sqrt{yz}}+\dfrac{1}{\sqrt{xz}}\right)=3\sqrt{3}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(GT\Rightarrow\left(\sqrt{2+x^2}-x\right)\left(\sqrt{2+x^2}+x\right)\left(\sqrt{2+y^2}+y\right)=2\left(\sqrt{2+x^2}+x\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(\sqrt{2+y^2}+y\right)=2\left(\sqrt{2+x^2}+x\right)\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{2+x^2}+x-\sqrt{2+y^2}-y=0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x-y\right)\left(x+y\right)}{\sqrt{2+x^2}+\sqrt{2+y^2}}+\left(x-y\right)=0\)
TH1:\(x-y=0\Leftrightarrow x=y\left(đpcm\right)\)
TH2: \(x+y+\sqrt{2+x^2}+\sqrt{2+y^2}=0\)
Ta có: \(x\ge-\sqrt{x^2}\); \(y\ge-\sqrt{y^2}\)
\(\Rightarrow x+y+\sqrt{2+x^2}+\sqrt{2+y^2}\ge\sqrt{2+x^2}-\sqrt{x^2}+\sqrt{2+y^2}-\sqrt{y^2}>0\)
Do vậy TH2 không có x,y tm
Vậy ta có đpcm
Đặt \(\hept{\begin{cases}1\sqrt{x-1}=a\\\sqrt{y-1}=b\end{cases}}\)
Thì PT thành
a + a4 + 2a2 + 1 = b + b4 + 2b2 + 1
<=> (a - b) + (a - b)(a + b)(a2 + b2) + 2(a - b)(a +b) = 0
<=> (a - b)[1 + (a + b)(a2 + b2) + 2(a +b)] = 0
<=> a = b ( vì 1 + (a + b)(a2 + b2) + 2(a +b) > 0)
<=> \(1\sqrt{x-1}=\sqrt{y-1}\)
<=> x - 1 = y - 1
<=> x = y