Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a/ Nếu (a + b) < 0 thì bất đẳng thức đúng
Với (a + b) \(\ge0\)thì ta có
\(2a^2+ab+2b^2\ge\frac{5}{4}\left(a^2+2ab+b^2\right)\)
\(\Leftrightarrow3a^2-6ab+3b^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow3\left(a-b\right)^2\ge0\)(đúng)
b/ Áp dụng BĐT BCS :
\(1=\left(1.\sqrt{a}+1.\sqrt{b}+1.\sqrt{c}\right)^2\le3\left(a+b+c\right)\Rightarrow a+b+c\ge\frac{1}{3}\)
Áp dụng câu a/ :
\(\sqrt{2a^2+ab+2b^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(a+b\right)\)
\(\sqrt{2b^2+bc+2c^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(b+c\right)\)
\(\sqrt{2c^2+ac+2a^2}\ge\frac{\sqrt{5}}{2}\left(a+c\right)\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{\sqrt{5}}{2}.2\left(a+b+c\right)\ge\frac{\sqrt{5}}{3}\)
Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{9}\)
Vậy min P = \(\frac{\sqrt{5}}{3}\) khi a=b=c=1/9
Ta có \(ab+bc+ca=3abc\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=3\)
Đặt \(x=\dfrac{1}{a},y=\dfrac{1}{b},z=\dfrac{1}{c}\) thì ta có \(x,y,z>0;x+y+z=3\) và
\(\sqrt{\dfrac{a}{3b^2c^2+abc}}=\sqrt{\dfrac{\dfrac{1}{x}}{3.\dfrac{1}{y^2z^2}+\dfrac{1}{xyz}}}=\sqrt{\dfrac{\dfrac{1}{x}}{\dfrac{3x+yz}{xy^2z^2}}}=\sqrt{\dfrac{y^2z^2}{3x+yz}}\) \(=\dfrac{yz}{\sqrt{3x+yz}}\) \(=\dfrac{yz}{\sqrt{x\left(x+y+z\right)+yz}}\) \(=\dfrac{yz}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)
Do đó \(T=\dfrac{yz}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}+\dfrac{zx}{\sqrt{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}}+\dfrac{xy}{\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\)
Lại có \(\dfrac{yz}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\le\dfrac{yz}{2\left(x+y\right)}+\dfrac{yz}{2\left(x+z\right)}\)
Lập 2 BĐT tương tự rồi cộng theo vế, ta được \(T\le\dfrac{yz}{2\left(x+y\right)}+\dfrac{yz}{2\left(x+z\right)}+\dfrac{zx}{2\left(y+z\right)}+\dfrac{zx}{2\left(y+x\right)}\) \(+\dfrac{xy}{2\left(z+x\right)}+\dfrac{xy}{2\left(z+y\right)}\)
\(T\le\dfrac{yz+zx}{2\left(x+y\right)}+\dfrac{xy+zx}{2\left(y+z\right)}+\dfrac{xy+yz}{2\left(z+x\right)}\)
\(T\le\dfrac{x+y+z}{2}\) (do \(x+y+z=3\))
\(T\le\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=1\) \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)
Vậy \(maxT=\dfrac{3}{2}\), xảy ra khi \(a=b=c=1\)
(Mình muốn gửi lời cảm ơn tới bạn Nguyễn Đức Trí vì ý tưởng của bài này chính là bài mình vừa hỏi lúc nãy trên diễn đàn. Cảm ơn bạn Trí rất nhiều vì đã giúp mình có được lời giải này.)
Bạn Lê Song Phương xem lại dùm nhé, thanks!
\(...\dfrac{yz}{\sqrt[]{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\le\dfrac{2yz}{x+y}+\dfrac{2yz}{x+z}\)
\(...\Rightarrow T\le2.3=6\)
\(\Rightarrow GTLN\left(T\right)=6\left(tạia=b=c=1\right)\)
Bài này có khó lắm đâu
Bạn tìm điều kiện xác định là a,b,c≥0
Ở cái tử dễ dàng nhận ra hằng đẳng thức là
\( { (\sqrt{a}+ \sqrt{b}+ \sqrt{c})^2}\)
Bỏ căn bỏ bình phương đi rồi chia từ cho mẫu ta đc kết quả là 1
Đặt \(a^2=x;b^2=y;c^2=z\)
Ta có:
\(VT=\sqrt{\frac{x}{x+y}}+\sqrt{\frac{y}{y+z}}+\sqrt{\frac{z}{z+x}}\)
Mặt khác:
\(\sqrt{\frac{x}{x+y}}=\sqrt{\frac{x}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\cdot\sqrt{x+z}}\)
Áp dụng Bđt Cauchy-Schwarz ta có:
\(VT^2\le2\left[\frac{x}{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\frac{y}{\left(y+z\right)\left(y+x\right)}+\frac{z}{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\right]\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow VT^2\le\frac{4\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)}{\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)}\)
Vì \(VP^2=\frac{9}{2}\) nên cần chứng minh \(VT^2\le\frac{9}{2}\)
\(\Leftrightarrow9\left(x+y\right)\left(y+z\right)\left(z+x\right)\ge8\left(x+y+z\right)\left(xy+yz+zx\right)\)
bn tự lm tiếp
ta có : \(P=\frac{\sqrt{bc}}{a+2\sqrt{bc}}+\frac{\sqrt{ac}}{b+2\sqrt{ac}}+\frac{\sqrt{ab}}{c+2\sqrt{ab}}\le\frac{\frac{1}{2}\left(b+c\right)}{a+b+c}+\frac{\frac{1}{2}\left(a+c\right)}{a+b+c}+\frac{\frac{1}{2}\left(a+b\right)}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow P\le\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\)
=> GTLN của P là 1 khi a=b=c
\(P=\frac{ab}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(b+c\right)}}+\frac{bc}{\sqrt{\left(c+a\right)\left(a+b\right)}}+\frac{ca}{\sqrt{\left(b+c\right)\left(a+b\right)}}\)
thử dùng cô si đi
Nếu a=1,252 b=1,123 c=0,523
thì \(\frac{5.1,252^2\sqrt{1,123.0,523}-\sqrt{1,252.0,523}+\sqrt{1,252.^21,123}-2.1,252.1,123,0,523}{2.\sqrt{1,523^2}-1,123^2+3.1,252.1,123.0,523}\)
= .....