K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

15 tháng 6 2016

A D B C M N I

xét trường hợp tứ giác lồi ABCD không phải là hình thang

nối BD , gọi I là trung điểm của BD 

xét tam giác ABD  ta được 

M là trung điểm AB (GT)

 I là trung điểm của BD ( như cách gọi)

=> MI là  đường trung bình của tam giác ABD

     => MI // AD ; MI = 1/2 AD (1)

xét tam giác DBC ta có

 I là trung điểm của BD ( như cách gọi)

N là trung điểm của CD ( GT) 

=> NI là đường trung bình của tam giác DBC

    => NI //BC ; NI = 1/2BC (2)

cộng theo vế của (1) và (2) ta được

NI + MI = 1/2 (AD + BC)  hay \(MI+NI=\frac{BC+AD}{2}\)(3)

vì ABCD không phải là hình thang nên I không thuộc MN hay 3 điểm I,M,N không thẳng hàng. Ta được tam giác MIN. 

áp dụng định lí bất đẳng thức tm giác vào tm giác MIN ta có

MN < MI + NI (4)

kết hợp (3) và (4) ta được

\(MN<\frac{BC+AD}{2}\)(5)

* Xét trường hợp ABCD là hình thang ( AD // BC) 

ta có

M là trung điểm AB,

N là trung điểm CD

=> MN là đường trung bình của hình thang ABCD

    => \(MN=\frac{BC+AD}{2}\) (6)

kết hợp (5) và (6) ta được

\(MN\le\frac{BC+AD}{2}\)

15 tháng 6 2016

an cut

22 tháng 7 2018

A B C D M N I

Nối đường chéo BD của tứ giác ABCD. Lấy I là trung điểm của đoạn BD, nối IM và IN.

Xét \(\Delta\)BAD: I là trung điểm BD; M là trung điểm AD => IM là đường trung bình của tam giác BAD

=> IM = 1/2 AB. Tương tự ta có: IN = 1/2 CD \(\Rightarrow IM+IN=\frac{AB+CD}{2}\)

Mà \(IM+IN\ge MN\)(T/c 3 điểm) \(\Rightarrow\frac{AB+CD}{2}\ge MN\)

Vậy \(MN\le\frac{AB+CD}{2}\)(đpcm).

Dấu "=" xảy ra <=> I thuộc đoạn MN <=> MN // AB // CD (Do IM // AB và IN // CD) <=> Tứ giác ABCD là hình thang.

17 tháng 9 2019

Bài này thì mình không chắc ở cái "Đẳng thức xảy ra khi..." đâu nhé!

A B C D M N I

Nối B và D. Gọi I là trung điểm BD. Có ngay MI = 1/2 AB và MI // AB; NI = 1/2 CD và NI // CD

Do đó \(MI+NI=\frac{AB+CD}{2}\)(1). Mặt khác theo quy tắc 3 điểm thì \(MI+NI\ge MN\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra đpcm.

Đẳng thức xảy ra khi \(I\in MN\Rightarrow MN\text{//}AB;DC\Rightarrow\)Tứ giác ABCD là hình thang

22 tháng 11 2021

Đề sai rồi, phải là cm \(MN< \dfrac{AB+CD}{2}\)