Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(\frac{x^3}{y}+\frac{y^3}{z}+\frac{z^3}{x}=\frac{x^4}{xy}+\frac{y^4}{yz}+\frac{z^4}{zx}\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{xy+yz+zx}\) (áp dụng svacxo)
Áp dụng bđt phụ \(a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
=>\(VT\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{x^2+y^2+z^2}=x^2+y^2+z^2\ge1\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(\hept{\begin{cases}x^2+y^2+z^2=1\\x=y=z\end{cases}\Leftrightarrow x=y=z=\sqrt{\frac{1}{3}}}\)
Cách 2:
\(\frac{x^3}{y}+xy\ge2\sqrt{\frac{x^3}{y}.xy}=2x^2\)
Tương tự hai bđt còn lại , cộng theo vế:
\(\frac{x^3}{y}+\frac{y^3}{z}+\frac{z^3}{x}\ge2\left(x^2+y^2+z^2\right)-\left(xy+yz+zx\right)\ge x^2+y^2+z^2=1\)(đpcm)
Cách 3:
\(\frac{x^3}{y}+\frac{x^3}{y}+y^2\ge3\sqrt[3]{\frac{x^3}{y}.\frac{x^3}{y}.y^2}=3x^2\)
Hay \(\frac{2x^3}{y}\ge3x^2-y^2\)
Tương tự 2 BĐT còn lại rồi cộng theo vế rồi chia cho 2 thu được đpcm
Cách 4:
\(\frac{x^3}{y}+\frac{x^3}{y}+xy+xy\ge4\sqrt[4]{x^8}=4x^2\)
Hay \(\frac{2x^3}{y}\ge4x^2-2xy\). Tương tự hai BĐT còn lại và cộng theo vế rồi làm nốt:v
P/s: Lời giải trên dùng kỹ thuật ghép cặp, một kĩ thuật rất gây ức chế cho em vì nhiều khi nghĩ không ra cần ghép với số nào:v
ngu người
ngu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườingu ngườichó ngu
chó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó nguchó ngu
Ta có \(VT=\frac{x}{1-x^2}+\frac{y}{1-y^2}+\frac{z}{1-z^2}\)
Lại có \(x^2\left(1-x^2\right)^2=\frac{2x^2\left(1-x^2\right)\left(1-x^2\right)}{2}\le\frac{\left(2x^2+1-x^2+1-x^2\right)^3}{54}=\frac{4}{27}\)
\(\Leftrightarrow\) \(x\left(1-x^2\right)\le\frac{2}{3\sqrt{3}}\) \(\Leftrightarrow\) \(\frac{1}{x\left(1-x^2\right)}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}\) \(\Leftrightarrow\) \(\frac{x}{\left(1-x^2\right)}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}x^2\) (1)
Tương tự cho \(\frac{y}{\left(1-y^2\right)}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}y^2\) (2) và \(\frac{z}{\left(1-z^2\right)}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}z^2\) (3)
Cộng vế theo vế ta được \(VT=\frac{x}{1-x^2}+\frac{y}{1-y^2}+\frac{z}{1-z^2}\ge\frac{3\sqrt{3}}{2}\left(x^2+y^2+z^2\right)=\frac{3\sqrt{3}}{2}\)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{\sqrt{3}}{3}\)
\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z\)
Hoặc:
\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y+z}{4}\ge2\sqrt{\frac{x^2\left(y+z\right)}{4\left(y+z\right)}}=x\)
\(\frac{y^2}{x+z}+\frac{x+z}{4}\ge y\) ; \(\frac{z^2}{x+y}+\frac{x+y}{4}\ge z\)
Cộng vế với vế ta có đpcm
Mình sửa lại đề nhé:
\(\frac{x}{x^2+1}+\frac{y}{y^2+1}+\frac{z}{z^2+1}\le\frac{3}{2}\le\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\)
Dễ dàng chứng minh được: \(x^2+1\ge2x\Leftrightarrow\frac{x}{x^2+1}\le\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}\)
Tương tự, ta cũng có: \(\frac{y}{y^2+1}\le\frac{1}{2};\frac{z}{z^2+1}\le\frac{1}{2}\)
Cộng từng vế của 3 BĐT trên ta được ĐPCM.
Ta chứng minh BĐT: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow3+\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\right)\ge9\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)+\left(\frac{b}{c}+\frac{c}{b}\right)+\left(\frac{c}{a}+\frac{a}{c}\right)\ge6\)
BĐT này đúng với \(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\ge2\)
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\), ta được:
\(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\ge\frac{9}{3+x+y+z}\ge\frac{9}{3+3}\ge\frac{3}{2}\)
Đặt a = x + y, b = y + z, c = x + z
Từ đó ta có x = \(\frac{a\:+C-b}{2}\), y = \(\frac{a+b-c}{2}\), z = \(\frac{b+c-a}{2}\)
Thì bất đẳng thức thành
\(\frac{a+c-b}{2b}\)+ \(\frac{b+c-a}{2a}\)+ \(\frac{a+b-c}{2c}\)<= \(\frac{3}{2}\)
<=> (a/b + b/a) + (a/c + c/a) + (b/c + c/b) <= 6 (đúng)
Vậy bất đẳng thức ban đầu là đúng
Nhanh vậy ta:
chơi khác kiểu không trùng ai hết.
câu 1
\(P=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}=\frac{y^2+x^2}{\left(xy\right)^2}=\frac{20}{\left(xy\right)^2}\)(1)
Ta lại có:
\(\left(x-y\right)^2\ge0\Rightarrow x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow xy\le\frac{20}{2}=10\)(2) Đẳng thức khi x=y
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow P_{min}=\frac{20}{100}=\frac{1}{5}\) Khi x=y=\(\sqrt{10}\)
câu 2: Không cần đk (x+y+z)=1
\(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}=1\) (1) =>Dk \(\hept{\begin{cases}x+z\ne0\\y+z\ne0\\x+y\ne0\end{cases}\Rightarrow\left(x+y+z\right)\ne0}\)
Nhân hai vế (1) với (x+y+z khác 0)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\right)\left(x+y+z\right)=1.\left(x+y+z\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\right)+\left(x+y+z\right)=\left(x+y+z\right)\)
\(\Rightarrow\left(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\right)=0\)
Câu 1:
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\) ta có:
\(P=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge\frac{4}{x^2+y^2}=\frac{4}{20}=\frac{1}{5}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x,y>0\\x^2+y^2=20\\x=y\end{cases}}\Rightarrow x=y=\sqrt{10}\)
Vậy MinP=\(\frac{1}{5}\Leftrightarrow x=y=\sqrt{10}\)
Câu 2:
Từ \(x+y+z=1\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=1-\left(y+z\right)\\y=1-\left(x+z\right)\\z=1-\left(x+y\right)\end{cases}}\).Thay vào ta có
\(\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{x+z}+\frac{z^2}{x+y}=\frac{x\left[1-\left(y+z\right)\right]}{y+z}+\frac{y\left[1-\left(x+z\right)\right]}{x+z}+\frac{z\left[1-\left(x+y\right)\right]}{x+y}\)
\(=\frac{x-x\left(y+z\right)}{y+z}+\frac{y-y\left(x+z\right)}{x+z}+\frac{z-z\left(x+y\right)}{x+y}\)
\(=\frac{x}{y+z}-\frac{x\left(y+z\right)}{y+z}+\frac{y}{x+z}-\frac{y\left(x+z\right)}{x+z}+\frac{z}{x+y}-\frac{z\left(x+y\right)}{x+y}\)
\(=\frac{x}{y+z}-x+\frac{y}{x+z}-y+\frac{z}{x+y}-z\)
\(=\left(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{x+z}+\frac{z}{x+y}\right)-\left(x+y+z\right)=1-1=0\)
cm bài toán phụ :a2+b2>=ab
(a-b)2>= 0 => a2 -2ab+b2>=0 =>a2+b2>=2ab (1)
áp dụng (1) ta có : x2/y2 +y2/z2 >= 2x/z
y2/z2+z2/x2 >= 2y/x
x2/y2+z2/x2>=2z/x
=> 2(x2/y2 + y2/z2 +z2/x2 ) >=2(x/y+y/z +z/x)
=>x2/y/2+y2/z2 +z2/x2 >=x/y +y/z +z/x