Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
x+y=a+b => (x+y)2 =(a+b)2 => x2 +2xy+ y2 =a2 +2ab+b2 => xy=ab
ta sẽ chứng mính bằng phương pháp quy nạp.
Với n =1, n=2 thì đẳng thức đúng
Giả sử xn-1 +yn-1 = an-1 +bn-1; xn +yn = an +bn , ta sẽ chứng minh đẳng thức cũng đúng với n+1
\(x^{n+1}+y^{n+1}=\left(x^n+y^n\right)\left(x+y\right)-xy\left(x^{n-1}+y^{n-1}\right)=\left(a^n+b^n\right)\left(a+b\right)-\)ab(an-1 +bn-1 ) = an+1 + bn+1 (đúng)
vậy đẳng thức đúng với mọi n
+) Ta có : \(x^2+y^2=a^2+b^2\)
\(\Leftrightarrow x^2-a^2=b^2-y^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x-a\right)\left(x+a\right)=\left(b-y\right)\left(b+y\right)\) ( * )
+) Ta có : \(x+y=a+b\)
\(\Leftrightarrow x-a=b-y\)
Thay \(x-a=b-y\) vào ( * ) ta được :
\(\left(b-y\right)\left(x+a\right)=\left(b-y\right)\left(b+y\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(b-y\right)\left(x+a\right)-\left(b-y\right)\left(b+y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(b-y\right)\left[\left(x+a\right)-\left(b+y\right)\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left(b-y\right)\left(x+a-b-y\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}b-y=0\\x+a-b-y=0\end{cases}}\)
\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}b=y\\x+a=b+y\end{cases}}\)
TH1 :\(b=y\)
\(\Rightarrow b-y=0\)
\(\Rightarrow x-a=0\)
\(\Rightarrow x=a\)
\(\Rightarrow x^n+y^n=a^n+b^n\) ( 1 )
TH2 : \(x+a=b+y\)
Mà \(x-a=b-y\)
\(\Rightarrow x+a+x-a=b+y+b-y\)
\(\Rightarrow2x=2b\)
\(\Rightarrow x=b\)
\(\Rightarrow a=y\)
\(\Rightarrow x^n+y^n=a^n+b^n\) ( 2 )
Từ ( 1 ) ; ( 2 )
\(\Rightarrow\) đpcm
Ta có :
\(x^2+y^2=a^2+b^2\)
\(\Leftrightarrow x^2-a^2=b^2-y^2\)
\(\Leftrightarrow\left(x-a\right)\left(x+a\right)=\left(b-y\right)\left(b+y\right)\)
Mà \(x+y=a+b\)
\(\Leftrightarrow x-a=b-y\)
+ Nếu \(x-a=b-y=0\Leftrightarrow x=a;b=y\) (1)
\(\Leftrightarrow\left(x-a\right)\left(x+a\right)=\left(b-y\right)\left(b+y\right)\)
\(\Leftrightarrow0=0\left(TM\right)\)
+ Nếu \(x-a=b-y\ne0\Leftrightarrow x+a=b+y\)
\(\Leftrightarrow x-y=b-a\)
Lại có : \(x+y=a+b\)
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2x=2b\\-2y=-2a\end{cases}}\)Cái trên là cộng vế với vế 2 ptr, cái dưới là trừ vế cho vế của 2 ptr nhé )
\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=b\\y=a\end{cases}}\) (2)
Từ (1) và (2) \(\Leftrightarrow x=a;y=b\)hoặc \(x=b;y=a\)
\(\Rightarrow x^n+y^n=a^n+b^n\)(đpcm)
A=(x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y)+y4
A=(x+y)(x+4y).(x+2y)(x+3y)+y4
A=(x2+5xy+4y2)(x2+5xy+6y2)+y4
A=(x2+5xy+ 5y2 - y2 )(x2+5xy+5y2+y2)+y4
A=(x2+5xy+5y2)2-y4+y4
A=(x2+5xy+5y2)2
Do x,y,Z nen x2+5xy+5y2 Z
A là số chính phương
a) Ta có: A= (x+y)(x+2y)(x+3y)(x+4y)+y4
= (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y2
Đặt x2 + 5xy + 5y2 = h ( h thuộc Z):
A = ( h - y2)( h + y2) + y2 = h2 – y2 + y2 = h2 = (x2 + 5xy + 5y2)2
Vì x, y, z thuộc Z nên x2 thuộc Z, 5xy thuộc Z, 5y2 thuộc Z . Suy ra x2 + 5xy + 5y2 thuộc Z
Vậy A là số chính phương.
1.a) (x+2)2-2(x+2)(x-8)+(x-8)2=[ (x+2)-(x-8) ]2=(x+2-x+8)2=102=100
b) (x+y-z-t)2-(z+t-x-y)2=(x+y-z-t+z+t-x-y)(x+y-z-t-z-t+x+y)
=0.-2(z+t-x-y)=0
2. n3-n=n(n2-1)=n(n-1)(n+1)
Ta n(n-1)(n+1) là tích ba số nguyên tự nhiên
=>n(n-1)(n+1) chia hết cho 2 và 3
=>n(n-1)(n+1) chia hết cho 6
B1) Từ \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\)
\(\Rightarrow\frac{xy+yz+zx}{xyz}=0\)
\(\Rightarrow xy+yz+zx=0\)
Ta có \(\left(x+y+z\right)^2=x^2+y^2+z^2+2\left(xy+yz+zx\right)\)
\(=x^2+y^2+z^2+2.0\)
\(=x^2+y^2+z^2\left(đpcm\right)\)
B2) \(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ca\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ca+a^2\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
Vì \(\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\ge0\forall a;b\\\left(b-c\right)^2\ge0\forall b;c\\\left(c-a\right)^2\ge0\forall c;a\end{cases}\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0}\)
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}\Leftrightarrow a=b=c\left(đpcm\right)}\)
\(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2+c^2\right).2=\left(ab+bc+ca\right).2\)
\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ca=0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
Ta có: \(\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2\ge0\forall a,b\\\left(b-c\right)^2\ge0\forall b,c\\\left(c-a\right)^2\ge0\forall a,c\end{cases}}\)\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\forall a,b,c\)
Mà \(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\left(a-b\right)^2=0\\\left(b-c\right)^2=0\\\left(c-a\right)^2=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a-b=0\\b-c=0\\c-a=0\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b\\b=c\\c=a\end{cases}}\Leftrightarrow a=b=c\)
Vậy \(a^2+b^2+c^2=ab+bc+ca\)thì \(a=b=c\)
\(x+y=a+b\)(1)
\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^3=\left(a+b\right)^3\)
\(\Leftrightarrow x^3+y^3+3xy\left(x+y\right)=a^3+b^3+3ab\left(a+b\right)\)(2)
Ta thấy: \(x+y=a+b\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2=\left(a+b\right)^2\)
\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2=a^2+2ab+b^2\). Mà \(x^2+y^2=a^2+b^2\)
\(\Rightarrow xy=ab\Rightarrow3xy=3ab\)(3)
Từ (1); (2) và (3) \(\Rightarrow x^3+y^3=a^3+b^3\)
Lại có: \(\left(x^2+y^2\right)^2=\left(a^2+b^2\right)^2\Leftrightarrow x^4+2x^2y^2+y^4=a^4+2a^2b^2+b^4\)
Vì \(xy=ab\Rightarrow2x^2y^2=2a^2b^2\Rightarrow x^4+y^4=a^4+b^4\)
Sau đó sử dụng phép quy nạp là xong.
Ta có: xy = ab <=> \(\frac{x}{a}=\frac{b}{y}\)(a; y \(\ne\)0)
Đặt \(\frac{x}{a}=\frac{b}{y}=k\) => \(\hept{\begin{cases}x=ak\\b=yk\end{cases}}\)(*)
Khi đó: x + y = a + b <=> ak + y = a + yk
<=> ak - a + y - yk = 0
<=> a(k - 1) - y(k - 1) = 0
<=> (a - y)(k - 1) = 0
<=> \(\orbr{\begin{cases}a=y\\k=1\end{cases}}\)
Với a = y => b = x
<=> an = yn (1) và bn = xn (2) (x \(\in\)N)
Từ (1) và (2) cộng vế theo vế : an + bn = yn + xn
Với k = 1 thay vào (*) => \(\hept{\begin{cases}x=a\\b=y\end{cases}}\) <=> \(\hept{\begin{cases}x^n=a^n\\y^n=b^n\end{cases}}\) => xn + yn = an + bn
=> đpcm
Theo bài ra ta có:
x + y = a + b => (x + y)2 = (a + b)2 <=> 2xy = 2ab <=> xy = ab
Do đó, x và y là nghiệm của PT: t2 -(a + b).t - ab = 0
\(\Delta=\left(a+b\right)^2-4ab=...=\left(a-b\right)^2\)
=> x = a hoặc x = b; y = b hoặc y = a
Từ đó hiển nhiên xn + yn = an + bn đúng.
Đính chính: PT: t2 -(a+b)t + ab = 0