Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Xét (a+b)3 = (a+b)(a+b)(a+b) = a3 + b3 + 3ab.(a+b)
Tương tự ta có: (a+b+c)3 = [(a+b) + c]3 = (a+b)3 + c3 + 3(a+b).c.(a+b+c)
= a3 + b3 + 3ab.(a+b) + c3 + 3(a+b).c.(a+b+c)
=> a3 + b3 + c3 = (a+b+c)3 - 3ab(a+b) - 3(a+b).c.(a+b+c) chia hết cho 6,vì:
a+ b+c chia hết cho 6 nên (a+b+c)3 chia hết cho 6 và 3(a+b).c.(a+b+c) chia hết cho 6
Tích ab(a+b) luôn chia hêt 2 ( Vì nếu 1 trong 2 số a; b chẵn hay a;b cùng chẵn thì tích a.b chẵn; nếu a;b cùng lẻ thì a+ b chẵn)
=> 3ab(a+b) luôn chia hết cho 6
Vậy a3 + b3 + c3 luôn chia hết cho 6
Xét hiệu : (a3 + b3 + c3) - (a + b + c) = a3 + b3 + c3 - a - b - c = (a3 - a) + (b3 - b) + (c3 - c) = a(a2 - 1) + b(b2 - 1) + c(c2 - 1) = a(a - 1)(a + 1) + b(b - 1)(b + 1) + c(c - 1)(c + 1)
a(a - 1)(a + 1) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp nên a(a - 1)(a + 1) chia hết cho 2 và 3
Mà (2,3) = 1
=> a(a - 1)(a + 1) chia hết cho 6
Tương tự b(b - 1)(b + 1) chia hết cho 6
c(c -1)(c + 1) chia hết cho 6
=>(a3 + b3 + c3) - (a + b + c) chia hết cho 6
Mà a + b + c chia hết cho 6
=>a3 + b3 + c3 chia hết cho 6(đpcm)
a, an+3-an+1=an.a(a2-1)=an(a-1)a(a+1)
Vì (a-1)a(a+1) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp
=> (a-1)a(a+1) chia hết cho 2 và 3
Mà (2,3)=1
=>(a-1)a(a+1) chia hết cho 6
=> an(a-1)a(a+1) chia hết cho 6
=>đpcm
b, a3+5a=(a3-a)+6a=a(a2-1)+6a=(a-1)a(a+1)+6a
CM (a-1)a(a+1) chia hết cho 6
6a chia hết cho 6
=>(a-1)a(a+1)+6a chia hết cho 6
=>đpcm
c, a3+b3+c3-a-b-c=(a3-a)+(b3-b)+(c3-c)
đến đây dễ rồi, tự làm
Bài này cần dùng một ít kiến thức của lớp 8, bạn có thể tìm hiểu thêm.
B = a3 + b3 + c3 - ( a + b + c )
= a3 + b3 + c3 - a - b - c
= ( a3 - a ) + ( b3 - b ) + ( c3 - c )
= a( a2 - 1 ) + b( b2 - 1 ) + c( c2 - 1 )
= ( a - 1 )a( a + 1 ) + ( b - 1 )b( b + 1 ) + ( c - 1 )c( c + 1 )
Vì ( a - 1 ) ; a ; ( a + 1 ) là ba số nguyên liên tiếp
=> sẽ có 1 số ⋮ 2 và 1 số ⋮ 3
mà (2;3) = 6 => ( a - 1 )a( a + 1 ) ⋮ 6
CMTT ta có được ( b - 1 )b( b + 1 ) ⋮ 6 và ( c - 1 )c( c + 1 ) ⋮ 6
=> ( a - 1 )a( a + 1 ) + ( b - 1 )b( b + 1 ) + ( c - 1 )c( c + 1 ) ⋮ 6
hay B = a3 + b3 + c3 - ( a + b + c ) ⋮ 6
\(B=a^3+b^3+c^3-\left(a+b+c\right)\)
\(=a^3+b^3+c^3-a-b-c\)
\(=\left(a^3-a\right)+\left(b^3-b\right)+\left(c^3-c\right)\)
\(=a\left(a^2-1\right)+b\left(b^2-1\right)+c\left(c^2-1\right)\)
\(=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)+b\left(b-1\right)\left(b+1\right)+c\left(c-1\right)\left(c+1\right)\)
Vì \(a\), \(a-1\), \(a+1\)là 3 số nguyên liên tiếp
\(\Rightarrow a\left(a-1\right)\left(a+1\right)⋮2\)và \(a\left(a-1\right)\left(a+1\right)⋮3\)
mà \(\left(2;3\right)=1\)\(\Rightarrow a\left(a-1\right)\left(a+1\right)⋮6\)
Chứng minh tương tự: \(b\left(b-1\right)\left(b+1\right)⋮6\), \(c\left(c-1\right)\left(c+1\right)⋮6\)
\(\Rightarrow B=a\left(a-1\right)\left(a+1\right)+b\left(b-1\right)\left(b+1\right)+c\left(c-1\right)\left(c+1\right)⋮6\)
\(\Rightarrow B⋮6\)( đpcm )
