Question

[Nguyễn Hữu Đức]

Cho tam giác ABC nội tiếp (O),các đường cao BD,CE của tam giác cắt nhau ở H . Gọi A' là điểm đối xứng của H qua trung điểm I của BC 

1. C/m A,O,A' thẳng hàng và AH=2.OI 

2.(AED) cắt (O)ở F (#A) . C/m đường thẳng EI là tiếp tuyến của (AED)

3.C/m góc AFI = 90 độ 

Answer 1

[Nguyễn Hoàng Linh]

kẻ đường kính AM của (O). 

ta có: HC//BM( cùng vuông góc AB), HB//CM( cùng vuông góc AC)

         =>HCMB là hình bình hành=>I là trung điểm Bc\C đồng thời là trung điểm MH=>M trùng A=>AA' là đường kính(O)

   Xét tam giác AHA' có OI là đường trung bình tam giác => AH=2OI

Answer 2

[Nguyễn Hoàng Linh]

tứ giác ADHE có AEH+ADH=180 => ADHE nội tiếp đường tròn

gọi Q là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ADHE

=>EAQ=AEQ

mà EAQ=EDH( cùng chắn EH)=>E\AEQ=EDH(1)

lại có: tứ giác BCDE có D và E cùng nhìn BC dưới 1 góc bằng nhau=>BCDE nội tiếp

=>EDH=ECB(2)

mặt khác: tam giác BEC vuông tại E có EI là trung tuyến ứng với cạnh huyền

=> EI=IC=>tam giav EIC cân 

=>ECH=CEI(3)

 từ (1), (2) và(3)=>AEQ=CEI

 ta có: AEQ+QEC=90=>CEI+QEC=90=>QEI=90=> EI là tiếp tuyến (Q)