Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Lại có p>q>3 nên q=3k+1, 3k+2 ( k là stn và k>0 )
Loại q=3k+1 vì nếu q=3k+1 thì p=3(k+1) chia hết cho 3 là hợp số( vô lý)
Vậy q=3k+2 nên p=3(k+1)+1
Đặt k=2m, 2m+1
Nếu k=2m thì q=3(2m+1)+1. Mà 3(2m+1) là số lẻ nên q chẵn. Mà q là số nguyên tố và q>2 nên q lẻ ( vô lý)
Vậy k=2m+1
Suy ra \(q^3+p^3=18k^3+162k^2+180k+72\)
Dễ thấy \(180k+72⋮36\)
Cần cm \(18k^3+162k^2⋮36\)
Dễ thấy \(18k^3+162k^2\) chia hết cho 9 (1)
Vì m là số lẻ nên m chia 4 dư 1 hoặc 3
Xét 2 trường hợp suy ra \(18k^3+162k^2\) chia hết cho 4 (2)
Từ (1),(2) và 4 và 9 là 2 số nguyên tố cùng nhau
Suy ra \(18k^3+162k^2⋮36\)
Vậy ta có điều phải chứng minh
Từ đoạn Suy ra q3+p3=18k3+162k2+180k+72 mình viết nhầm m thành k :))))))))
Nếu \(p\ne3\)thì \(p=3k\pm1\).
Khi đó \(p^2+2=\left(3k\pm1\right)^2+3=9k^2\pm6k+3⋮3\)mà dễ thấy \(p^2+2>3\)
do đó \(p^2+2\)không là số nguyên tố.
Suy ra \(p=3\). Khi đó \(p^3+2=29\)là số nguyên tố. (đpcm)
Do p nguyên tố nên:
+) Xét p = 2 ta có: p2 + 8 = 22 + 8 = 12 là hợp số (loại)
+) Xêt p = 3 ta có: p2 + 8 = 32 + 8 = 17 là nguyên tố (chọn)
+) Xét p > 3 => p = 3k + 1 hoặc p = 3k + 2
Khi p = 3k + 1 => p2 + 8 = (3k + 1)2 + 8 = 9k2 + 3k + 1 + 8 = 9k2 + 3k + 9 = 3(3k2 + k + 3) chia hết cho 3 => p2 + 8 là hợp số (loại)
Khi p = 3k + 2 => p2 + 8 = (3k + 2)2 + 8 = 9k2 + 6k + 4 + 8 = 9k2 + 6k + 12 = 3(3k2 + 2k + 4) chia hết cho 3 => p2 + 8 là hợp số (loại)
=> p = 3 để p và p2 + 8 là nguyên tố
Khi đó: p2 + 2 = 32 + 2 = 11 là nguyên tố
Vậy nếu p và p2 + 8 là nguyên tố thì p2 + 2 cũng nguyên tố.
Đặt \(d=\left(9n+2,12n+3\right)\).
Suy ra \(\hept{\begin{cases}9n+2⋮d\\12n+3⋮d\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}4\left(9n+2\right)⋮d\\3\left(12n+3\right)⋮d\end{cases}}\Rightarrow3\left(12n+3\right)-4\left(9n+2\right)=1⋮d\)
Suy ra \(d=1\), do đó ta có đpcm.
Đặt d=(9n+2,12n+3)d=(9n+2,12n+3).
Suy ra \hept{9n+2⋮d12n+3⋮d⇒\hept4(9n+2)⋮d3(12n+3)⋮d⇒3(12n+3)−4(9n+2)=1⋮d\hept{9n+2⋮d12n+3⋮d⇒\hept{4(9n+2)⋮d3(12n+3)⋮d⇒3(12n+3)−4(9n+2)=1⋮d
Suy ra d=1d=1, do đó ta có đpcm.
\(\frac{2013n^2+3}{8}\inℤ\Leftrightarrow2013n^2+3⋮8\Leftrightarrow8.251.n^2+5n^2+3⋮8\)
Vì \(8.251.n^2⋮8\) nên \(5n^2+3⋮8\Leftrightarrow5n^2+3-8⋮8\Leftrightarrow5\left(n^2-1\right)⋮8\)
Vì 5 và 8 là 2 số nguyên tố cùng nhau nên \(n^2-1⋮8\Leftrightarrow\left(n-1\right)\left(n+1\right)⋮8\)
Vì các số nguyên tố lớn hơn 2 đều lẻ nên sẽ có dạng (4k+1) hoặc (4k+3), k là số tự nhiên
\(\Rightarrow\left(n-1\right)\left(n+1\right)=\orbr{\begin{cases}\left[\left(4k+1\right)-1\right]\left[\left(4k+1\right)+1\right]=4k\left(4k+2\right)⋮8\\\left[\left(4k+3\right)-1\right]\left[\left(4k+3\right)+1\right]=\left(4k+2\right)\left(4k+4\right)⋮8\end{cases}}\)
(Vì (4k+2) là số chẵn và (4k), (4k+4) đều chia hết cho 4 nên tích của chúng chia hết cho 8) ---->đpcm