K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

10 tháng 1 2020

Đặt \(\hept{\begin{cases}b+c+d=x>0\\a+c+d=y>0\\a+b+d=z>0\end{cases}}\)và \(a+b+c=t>0\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a=\frac{y+z+t-2x}{3}\\b=\frac{x+z+t-2y}{3}\\c=\frac{x+y+t-2z}{3}\end{cases}}\)và \(d=\frac{x+y+z-2t}{3}\)

Từ đó ta có:\(Q=\frac{y+z+t-2x}{3x}+\frac{x+z+t-2y}{3y}+\frac{x+y+t-2z}{3z}+\frac{x+y+z-2t}{3t}\)

\(=\frac{y}{3x}+\frac{z}{3x}+\frac{t}{3x}-\frac{2}{3}+\frac{x}{3y}+\frac{z}{3y}+\frac{t}{3y}-\frac{2}{3}+\frac{x}{3z}+\frac{y}{3z}+\frac{t}{3z}-\frac{2}{3}+\frac{x}{3t}+\frac{y}{3t}+\frac{z}{3t}-\frac{2}{3}\)

\(=\left(\frac{y}{3x}+\frac{x}{3y}\right)+\left(\frac{z}{3x}+\frac{x}{3z}\right)+\left(\frac{t}{3x}+\frac{x}{3t}\right)+\left(\frac{z}{3y}+\frac{y}{3z}\right)+\left(\frac{t}{3y}+\frac{y}{3t}\right)+\left(\frac{t}{3z}+\frac{z}{3t}\right)-\frac{8}{3}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta được:

\(\frac{y}{3x}+\frac{x}{3y}\ge2\sqrt{\frac{y}{3x}.\frac{x}{3y}}=\frac{2}{3}\)

CMTT \(\Rightarrow Q\ge\frac{4}{3}\)

Dấu"="xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=d\)

11 tháng 1 2020

Áp dụng Bất đẳng thức Bunhia- Copski ta có:

\(Q=\frac{a}{b+c+d}+\frac{b}{a+c+d}+\frac{c}{a+b+d}+\frac{d}{a+b+c}\)

\(=\left(\frac{a}{b+c+d}+1\right)+\left(\frac{b}{a+c+d}+1\right)+\left(\frac{c}{a+b+d}+1\right)+\left(\frac{d}{a+b+c}+1\right)-4\)

\(=\frac{a+b+c+d}{b+c+d}+\frac{a+b+c+d}{a+c+d}+\frac{a+b+c+d}{a+b+d}+\frac{a+b+c+d}{a+b+c}-4\)

\(=\left(a+b+c+d\right)\left(\frac{1}{b+c+d}+\frac{1}{a+c+d}+\frac{1}{a+b+d}+\frac{1}{a+b+c}\right)-4\ge\left(a+b+c+d\right).\frac{\left(1+1+1+1\right)^2}{\left(b+c+d\right)+\left(a+c+d\right)+\left(a+b+d\right)+\left(a+b+c\right)}-4\)

\(=\left(a+b+c+d\right)\frac{16}{3\left(a+b+c+d\right)}-4\)

\(=\frac{16}{3}-4=\frac{4}{3}\)

Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=d\)

11 tháng 8 2019

Có: \(\frac{a}{b+c+d}+\frac{b+c+d}{a}=\frac{a}{b+c+d}+\frac{b+c+d}{9a}+\frac{8\left(b+c+d\right)}{9a}\)

\(\ge2\sqrt{\frac{a}{b+c+d}.\frac{b+c+d}{9a}}+\frac{8\left(b+c+d\right)}{9a}\)

\(=\frac{2}{3}+\frac{8\left(b+c+d\right)}{9a}\)

Tương tự ba BĐT còn lại và cộng theo vế thu được:

\(\Sigma_{cyc}\left(\frac{a}{b+c+d}+\frac{b+c+d}{a}\right)=\frac{8}{3}+\frac{8}{9}\left(\frac{b+c+d}{a}+\frac{c+d+a}{b}+\frac{d+a+c}{c}+\frac{a+b+c}{d}\right)\)

\(\ge\frac{8}{3}+\frac{32}{9}\sqrt[4]{\frac{\left(b+c+d\right)\left(c+d+a\right)\left(d+a+c\right)\left(a+b+c\right)}{abcd}}\)

\(\ge\frac{8}{3}+\frac{32}{9}\sqrt[4]{\frac{3^4.abcd}{abcd}}=\frac{40}{3}\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b =c = d

P/s: Tính sai chỗ nào tự sửa nhá, dạo này hay nhầm lắm!

NV
25 tháng 2 2020

\(\frac{a}{a+b+c}>\frac{a}{a+b+c+d}\)

Làm tương tự với 3 cái sau và cộng lại ta sẽ có BĐT bên trái

\(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a+d}{a+b+c+d}\)

Làm tương tự với 3 cái sau và cộng lại ta sẽ có BĐT bên phải

2/\(H=\left(x^2+y^2+1-2x+2y-2xy\right)+\left(x^2+2x+1\right)+2019\)

\(H=\left(x-y-1\right)^2+\left(x+1\right)^2+2019\ge2019\)

\(H_{min}=2019\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=0\\x-y-1=0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\y=-2\end{matrix}\right.\)

NV
16 tháng 3 2019

a/ Biến đổi tương đương:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow a^2+2ab+b^2\ge4ab\)

\(\Leftrightarrow a^2-2ab+b^2\ge0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vậy BĐT được chứng minh

b/ \(VT=\frac{a-d}{b+d}+1+\frac{d-b}{b+c}+1+\frac{b-c}{a+c}+1+\frac{c-a}{a+d}+1-4\)

\(VT=\frac{a+b}{b+d}+\frac{c+d}{b+c}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{c+d}{a+d}-4\)

\(VT=\left(a+b\right)\left(\frac{1}{b+d}+\frac{1}{a+c}\right)+\left(c+d\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+d}\right)-4\)

\(\Rightarrow VT\ge\left(a+b\right).\frac{4}{b+d+a+c}+\left(c+d\right).\frac{4}{b+c+a+d}-4\)

\(\Rightarrow VT\ge\frac{4}{\left(a+b+c+d\right)}\left(a+b+c+d\right)-4=4-4=0\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=d\)

1 tháng 5 2018

vì a b c d dương \(\Rightarrow\)1/a 1/b 4/c 16/d dương

\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}>=\frac{4}{a+b}=\frac{2^2}{a+b}\)(bdt am-gm) dấu = xảy ra khi a=b

     \(\frac{4}{c}+\frac{16}{d}=\frac{2^2}{c}+\frac{4^2}{d}>=\frac{\left(2+4\right)^2}{c+d}=\frac{6^2}{c+d}\)(bđt am-gm) dấu = xảy ra khi \(\frac{2}{c}=\frac{4}{d}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}+\frac{16}{d}>=\frac{2^2}{a+b}+\frac{6^2}{c+d}>=\frac{\left(2+6\right)^2}{a+b+c+d}=\frac{8^2}{8}=8\)

dấu = xảy ra khi \(\frac{2}{a+b}=\frac{6}{c+d}\)

vậy min của \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{4}{c}+\frac{16}{d}\)là 8 tại \(a=b;\frac{2}{c}=\frac{4}{d};\frac{2}{a+b}=\frac{6}{c+d}\)

1 tháng 5 2018

Bạn Đinh Quang Hiệp, bn có thể giải thích rõ hơn về phần dấu = xảy ra khi a=b ko? 😍😍😍

4 tháng 11 2019

Theo tính chất của tỉ lệ thức , ta có :

 \(\frac{a}{a+b+c}< 1\Rightarrow\frac{a}{a+b+b}< \frac{a+d}{a+b+c+d}\left(1\right)\)

Mặt khác , ta có : \(\frac{a}{a+b+c}>\frac{a}{a+b+c+d}\left(2\right)\)

Từ ( 1 ) và ( 2 ) \(\Rightarrow\frac{a}{a+b+c+d}< \frac{a}{a+b+c}< \frac{a+d}{a+b+c+d}\left(3\right)\)

Tương tự , ta có : \(\hept{\begin{cases}\frac{b}{a+b+c+d}< \frac{b}{b+c+d}< \frac{b+a}{a+b+c+d}\left(4\right)\\\frac{c}{a+b+c+d}< \frac{c}{c+d+a}< \frac{b+c}{a+b+c+d}\left(5\right)\\\frac{d}{a+b+c+d}< \frac{d}{d+a+b}< \frac{d+c}{a+b+c+d}\left(6\right)\end{cases}}\)

Từ ( 3 ) ; ( 4 ) ; ( 5 ) ; ( 6 ) 

\(\Rightarrow1< \frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{b+c+d}+\frac{c}{c+d+a}+\frac{d}{d+a+b}< 2\)

Vậy...............

P/s : Nếu sai thì bỏ qua nha !

4 tháng 11 2019

Kimetsu bn làm mak mik thấy cứ mắc mắc chỗ nào ý,cách làm thì ko có gì phải bàn.

Ta có:

\(\frac{a}{a+b+c}>\frac{a}{a+b+c+d}\left(1\right)\)

\(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a+d}{a+b+c+d}\left(2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+ab+ac+ad< a^2+ad+ab+ad+ca+cd\)

\(\Leftrightarrow cd+da>0\) (  luôn đúng )

\(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow\frac{a}{a+b+c+d}< \frac{a}{a+b+c}< \frac{a+d}{a+b+c+d}\)

Tương tự rồi cộng lại nha !