Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Dùng hình bạn Ngọc nhé (khỏe khỏi phải vẽ :)
Xét \(\Delta BOC\)và \(\Delta NBC\)có
\(\widehat{OCB}\)chung
\(\widehat{BOC}=\widehat{NBC}=90\)
\(\Rightarrow\Delta BOC\)đồng dạng \(\Delta NBC\)
\(\Rightarrow\frac{BC}{NC}=\frac{OC}{BC}\Leftrightarrow BC^2=NC.OC\)
\(\Leftrightarrow BC^2=NC.\frac{2}{3}NC=\frac{2NC^2}{3}\)(Vì O là trọng tâm)
\(\Rightarrow NC=\sqrt{\frac{3}{2}}BC=\frac{\sqrt{3}.20132014}{\sqrt{2}}\)
Xét ΔABC có \(cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2\cdot bc}\)
\(\frac{a}{\sin A}=2R\)
=>\(\sin A=\frac{a}{2R}\)
=>cot A=\(\frac{cosA}{\sin A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}:\frac{a}{2R}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\cdot\frac{2R}{a}=\frac{b^2+c^2-a^2}{a}\cdot\frac{R}{BC}=\frac{b^2+c^2-a^2}{4S}\) (1)
XétΔABC có BM là đường trung tuyến
nên \(BM^2=\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}\)
Xét ΔABC có CN là đường trung tuyến
nên \(CN^2=\frac{c^2+b^2}{2}-\frac{a^2}{4}\)
Gọi G là giao điểm của BM và CN
Xét ΔABC có
BM,CN là các đường trung tuyến
BM cắt CN tại G
Do đó: G là trọng tâm của ΔABC
=>\(BG=\frac23BM;CG=\frac23CN\)
=>\(BG^2=\frac49BM^2;CG^2=\frac49CN^2\)
ΔGBC vuông tại G
=>\(GB^2+GC^2=BC^2\)
=>\(a^2=\frac49\left(\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}+\frac{c^2+b^2}{2}-\frac{a^2}{4}\right)=\frac49\cdot\frac{2\left(a^2+c^2\right)-b^2+2\left(c^2+b^2\right)-a^2}{4}\)
=>\(a^2=\frac19\cdot\left(2a^2+2c^2-b^2+2c^2+2b^2-a^2\right)=\frac19\left(a^2+b^2+4c^2\right)\)
=>\(5a^2=b^2+c^2\)
cot A=\(\frac{b^2+c^2-a^2}{S\cdot4}=\frac{5a^2-a^2}{4\cdot S}=\frac{4a^2}{4\cdot S}=\frac{a^2}{S}\)
cot B+cot C=\(\frac{a^2+c^2-b^2}{4S}+\frac{a^2+b^2-c^2}{4S}=\frac{2a^2}{4S}=\frac{a^2}{2S}\)
=>cot A=2(cot B+cot C)
Xét ΔABC có \(cosA=\frac{b^2+c^2-a^2}{2\cdot bc}\)
\(\frac{a}{\sin A}=2R\)
=>\(\sin A=\frac{a}{2R}\)
=>cot A=\(\frac{cosA}{\sin A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}:\frac{a}{2R}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\cdot\frac{2R}{a}=\frac{b^2+c^2-a^2}{a}\cdot\frac{R}{BC}=\frac{b^2+c^2-a^2}{4S}\) (1)
XétΔABC có BM là đường trung tuyến
nên \(BM^2=\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}\)
Xét ΔABC có CN là đường trung tuyến
nên \(CN^2=\frac{c^2+b^2}{2}-\frac{a^2}{4}\)
Gọi G là giao điểm của BM và CN
Xét ΔABC có
BM,CN là các đường trung tuyến
BM cắt CN tại G
Do đó: G là trọng tâm của ΔABC
=>\(BG=\frac23BM;CG=\frac23CN\)
=>\(BG^2=\frac49BM^2;CG^2=\frac49CN^2\)
ΔGBC vuông tại G
=>\(GB^2+GC^2=BC^2\)
=>\(a^2=\frac49\left(\frac{a^2+c^2}{2}-\frac{b^2}{4}+\frac{c^2+b^2}{2}-\frac{a^2}{4}\right)=\frac49\cdot\frac{2\left(a^2+c^2\right)-b^2+2\left(c^2+b^2\right)-a^2}{4}\)
=>\(a^2=\frac19\cdot\left(2a^2+2c^2-b^2+2c^2+2b^2-a^2\right)=\frac19\left(a^2+b^2+4c^2\right)\)
=>\(5a^2=b^2+c^2\)
cot A=\(\frac{b^2+c^2-a^2}{S\cdot4}=\frac{5a^2-a^2}{4\cdot S}=\frac{4a^2}{4\cdot S}=\frac{a^2}{S}\)
cot B+cot C=\(\frac{a^2+c^2-b^2}{4S}+\frac{a^2+b^2-c^2}{4S}=\frac{2a^2}{4S}=\frac{a^2}{2S}\)
=>cot A=2(cot B+cot C)
\(1,\)Gọi I là tâm đường tròn đường kính BC thì I là trung điểm BC và \(MI=IN=BI=CI=\dfrac{1}{2}BC\) (bán kính cùng đường tròn)
\(\Rightarrow\Delta BNC\) vuông tại N và \(\Delta CMB\) vuông tại N
Vậy \(\widehat{BMC}=\widehat{BNC}=90\) độ
\(2,\)Ta có \(H=BM\cap CN\)
Mà BM, CN là đường cao tam giác ABC
Suy ra H là trực tâm
\(\Rightarrow AH\) là đường cao thứ 3
\(\Rightarrow AH\perp BC\)
\(3,\) Gọi giao điểm của tiếp tuyến tại N và AH là K, AH cắt BC tại E.
Ta có \(\widehat{KNH}+\widehat{INH}=90\)
Mà \(\widehat{INH}=\widehat{NCI}\left(NI=IC\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{KNH}+\widehat{NCI}=90\)
Mà \(\widehat{NCI}+\widehat{CHE}=90\)
\(\Rightarrow\widehat{KNH}=\widehat{CHE}\)
Mà \(\widehat{CHE}=\widehat{NHK}\left(đđ\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{KNH}=\widehat{NHK}\)
\(\Rightarrow\Delta NHK\) cân tại K\(\Rightarrow NK=KH\left(1\right)\)
Ta có \(\widehat{KNH}+\widehat{KNA}=90;\widehat{KHN}+\widehat{NAH}=90\)
\(\Rightarrow\widehat{ANK}=\widehat{NAK}\Rightarrow NK=AK\left(2\right)\)
\(\left(1\right)\left(2\right)\Rightarrow NK=KH=AK\)
\(\Rightarrow\)Đfcm
Tick plzzz, nghĩ nát óc đó
1: Xét (O) có
\(\widehat{BNC}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
nên \(\widehat{BNC}=90^0\)
Xét (O) có
\(\widehat{BMC}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn
nên \(\widehat{BMC}=90^0\)
2: Xét ΔABC có
BM là đường cao ứng với cạnh AC
CN là đường cao ứng với cạnh AB
BM cắt CN tại H
Do đó: H là trực tâm của ΔABC
Suy ra: AH\(\perp\)BC