Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Cho ba số thực dương x;y;z thoả mãn \(5\left(x+y+z\right)^2\ge14\left(x^2+y^2+z^2\right)\) Tìm giá trị lớn nhất nhỏ nh... - Hoc24
Thay \(xy+yz+zx=5\) vào P, ta có:
\(P=\frac{3x+3y+2z}{\sqrt{6\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\sqrt{6\left(y+z\right)\left(y+x\right)}+\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si, ta có:
\(\sqrt{6\left(x+y\right)\left(x+z\right)}\le\frac{3\left(x+y\right)+2\left(x+z\right)}{2}\)
\(\sqrt{6\left(y+z\right)\left(y+x\right)}\le\frac{3\left(y+x\right)+2\left(y+z\right)}{2}\)
\(\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\le\frac{\left(z+x\right)+\left(z+y\right)}{2}\)
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức cùng chiều, ta đươc:
\(\sqrt{6\left(x+y\right)\left(x+z\right)}+\sqrt{6\left(y+z\right)\left(y+x\right)}+\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}\le\frac{9}{2}x+\frac{9}{2}y+3z\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{3x+3y+2z}{\frac{9}{2}x+\frac{9}{2}y+3z}=\frac{3x+3y+2z}{\frac{3}{2}\left(3x+3y+2z\right)}=\frac{2}{3}\)
Dấu "=" khi \(\hept{\begin{cases}3\left(x+y\right)=2\left(y+z\right)=2\left(z+x\right)\\z+y=z+x\\xy+yz+zx=5\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y=1\\z=2\end{cases}}}\)
Ta có
\(\frac{x^3}{\left(y+z\right)\left(y+2z\right)}+\frac{y+z}{12}+\frac{y+2z}{18}\ge\frac{3x}{6}=\frac{x}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{x^3}{\left(y+z\right)\left(y+2z\right)}\ge-\frac{y+z}{12}-\frac{y+2z}{18}+\frac{x}{2}=\frac{18x-7z-5y}{36}\)
Tương tự ta có
\(\frac{y^3}{\left(z+x\right)\left(z+2x\right)}\ge\frac{18y-7x-5z}{36}\)
\(\frac{z^3}{\left(x+y\right)\left(x+2y\right)}\ge\frac{18z-7y-5x}{36}\)
Cộng vế theo vế ta được
\(A\ge\frac{18x-7z-5y}{36}+\frac{18y-7x-5z}{36}+\frac{18z-7y-5x}{36}\)
\(=\frac{x+y+z}{6}\ge\frac{3\sqrt[3]{xyz}}{6}=\frac{3.2}{6}=1\)
Dấu = xảy ra khi x = y = z = 2
Theo BĐT AM - GM cho 3 số dương, ta có: \(\left(3x+1\right)\left(y+z\right)+x=3xy+3zx+x+y+z\)
\(\ge3xy+3zx+3\sqrt[3]{xyz}=3zx+3xy+3=3\left(zx+xy+1\right)\)(Do xyz = 1)
\(\Rightarrow\frac{1}{\left(3x+1\right)\left(y+z\right)+x}\le\frac{1}{3\left(zx+xy+1\right)}\)(1)
Tương tự ta có: \(\frac{1}{\left(3y+1\right)\left(z+x\right)+y}\le\frac{1}{3\left(xy+yz+1\right)}\)(2); \(\frac{1}{\left(3z+1\right)\left(x+y\right)+z}\le\frac{1}{3\left(yz+zx+1\right)}\)(3)
Cộng theo từng vế của 3 BĐT (1), (2), (3), ta được: \(P\le\frac{1}{3}\left(\frac{1}{xy+yz+1}+\frac{1}{yz+zx+1}+\frac{1}{zx+xy+1}\right)\)
Ta có BĐT: \(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
Thật vậy, với a, b dương thì (*)\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\ge ab\left(a+b\right)\Leftrightarrow a^2-ab+b^2\ge ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)(đúng)
Áp dụng BĐT trên và sử dụng giả thiết xyz = 1, ta được: \(\frac{1}{xy+yz+1}=\frac{\sqrt[3]{xyz}}{y\left(z+x\right)+\sqrt[3]{xyz}}\)
\(=\frac{\sqrt[3]{xyz}}{y\left[\left(\sqrt[3]{z}\right)^3+\left(\sqrt[3]{x}\right)^3\right]+\sqrt[3]{xyz}}\le\frac{\sqrt[3]{xyz}}{y\sqrt[3]{zx}\left(\sqrt[3]{z}+\sqrt[3]{x}\right)+\sqrt[3]{xyz}}\)
\(=\frac{\sqrt[3]{xyz}}{\sqrt[3]{y^3zx}\left(\sqrt[3]{z}+\sqrt[3]{x}\right)+\sqrt[3]{xyz}}=\frac{\sqrt[3]{xyz}}{\sqrt[3]{y^2}\left(\sqrt[3]{z}+\sqrt[3]{x}\right)+\sqrt[3]{xyz}}\)
\(=\frac{\sqrt[3]{zx}}{\sqrt[3]{y}\left(\sqrt[3]{z}+\sqrt[3]{x}\right)+\sqrt[3]{zx}}=\frac{\sqrt[3]{zx}}{\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{yz}+\sqrt[3]{zx}}\)(*)
Tương tự: \(\frac{1}{yz+zx+1}\le\frac{\sqrt[3]{xy}}{\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{yz}+\sqrt[3]{zx}}\)(**); \(\frac{1}{zx+xy+1}\le\frac{\sqrt[3]{yz}}{\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{yz}+\sqrt[3]{zx}}\)(***)
Cộng theo từng vế của 3 BĐT (*), (**), (***), ta được: \(\frac{1}{xy+yz+1}+\frac{1}{yz+zx+1}+\frac{1}{zx+xy+1}\le\frac{\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{yz}+\sqrt[3]{zx}}{\sqrt[3]{xy}+\sqrt[3]{yz}+\sqrt[3]{zx}}=1\)
\(\Rightarrow P\le\frac{1}{3}\left(\frac{1}{xy+yz+1}+\frac{1}{yz+zx+1}+\frac{1}{zx+xy+1}\right)\le\frac{1}{3}\)
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1
Theo đề: \(x+y+z=0\)
\(\Rightarrow x+y=-z\)
\(\Rightarrow-\left(x+y\right)=z\)
\(\Leftrightarrow-\left(x+y\right)^5=z^5\)
\(x^2+y^2+z^2=1\)
\(\Rightarrow x^2+y^2=1-z^2\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2-2xy=1-z^2\)
\(\Rightarrow\left(x+y\right)^2=1-z^2+2xy\)
\(\Rightarrow\left(-z\right)^2=1-z^2+2xy\)
\(\Leftrightarrow xy=\frac{2z^2-1}{2}\)
Nên ta có:
\(VT=x^5+y^5+z^5=x^5+y^5-\left(x+y\right)^5\)
\(=x^5+y^5-\left(x^5+5x^4y+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4+y^5\right)\)
\(=x^5+y^5-x^5-5x^4y-10x^3y^2-10x^2y^3-5xy^4-y^5\)
\(=-5x^4y-10x^3y^2-10x^2y^3-5xy^4\)
\(=-5xy\left(x^3+y^3\right)-10x^2y^2\left(x+y\right)\)
\(=-5xy\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)-10x^2y^2\left(x+y\right)\)
\(=-5xy\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2+2xy\right)\)
\(=-5xy\left(x+y\right)\left(x^2+xy+y^2\right)\)
\(=-5.\frac{2z^2-1}{2}.\left(-z\right).\left(1-z^2+\frac{2z^2-1}{2}\right)\)
\(=\frac{5z\left(2z^2-z\right)}{4}=\frac{5}{4}z\left(2x^2-1\right)=\frac{5}{4}\left(2z^3-z\right)=VP\)
=> đpcm